Školjka

%V0 Odredite polinom $P(x)$ s realnim koeficijentima takav da za neki $n \in \mathbb{N}$ vrijedi $$xP(x-n) = (x-1)P(x), \,\,\forall x \in \mathbb{R}.$$

%V0 neka je $P$ polinom $n$-tog stupnja ciji su svi koeficijenti nenegativni, a vodeci i slobodni koeficijent jednaki su $1$. uz pretpostavku da su sve nultocke od $P$ realni brojevi, dokazite da za svaki $x \geq 0$ vrijedi $P(x) \geq (x + 1)^n$.

%V0 Koristeći se pogodnom supstitucijom odredite broj rješenja jednadžbe $$ 8x(1-2x^2)(8x^4-8x^2+1)=1 $$ koja se nalaze unutar segmenta $[0,1]$.

%V0 Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je polinom $(x+1)^n-x^n-1$ djeljiv s $x^2+x+1$.

%V0 U skupu realnih brojeva riješi sustav jednadžbi $$$ \begin{align*} x^{2006}+y^{2006}+z^{2006}&=2, \\ x^{2007}+y^{2007}+z^{2007}&=2, \\ x^{2008}+y^{2008}+z^{2008}&=2. \end{align*}$$$

%V0 Nađi međusobne omjere realnih brojeva $x$, $y$, $z$ ako uz zadane brojeve $a$, $b$, $c$, $abc\ne-1$, vrijede jednakosti $$ x+by=y+cz=z+ax. $$