Školjka

%V0 Dana je parabola $y^2=2px$, $p>0$. Na paraboli su dane točke $A$, $B$ i $C$ ($A$ ima najveću, a $C$ najmanju ordinatu) tako da je simetrala kuta $\angle ABC$ paralelna s $x$-osi. Ako je duljina projekcije dužine $\overline{AC}$ na $y$-os jednaka $4p$, odredi ordinatu polovišta dužine $\overline{BC}$.

%V0 Točka $P$ je polovište tetive parabole $\cal{P}$ u čijim su krajevima povučene tangente na tu parabolu. Neka je $T$ sjecište tih tangenata. Dokaži da polovište dužine $\overline{PT}$ leži na paraboli.

%V0 U ravnini su dane točke $A$, $B$ i $C$. Neka su $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ i $I$ točke u istoj ravnini takve da su trokuti $ABD$, $BAE$, $CAF$, $DFG$, $ECH$ i $GHI$ pozitivno orijentirani jednakostranični trokuti. Dokažite da je točka $E$ polovište dužine $\overline{AI}$.

%V0 Neka su $A$ i $B$ točke na paraboli s tjemenom u točki $O$ takve da su tetive $\overline{OA}$ i $\overline{OB}$ okomite, a $\phi$ kut između tetive $\overline{OA}$ i osi parabole. Dokažite da je $$ \dfrac{|OA|}{|OB|}=\ctg^3\phi. $$

%V0 Točka $T$ se giba po koordinatnoj ravnini tako da je produkt njezinih udaljenosti od pravaca $4x-3y+11= 0$ i $4x+3y+5=0$ jednak $\dfrac{144}{25}$. Nađite jednadžbu geometrijskog mjesta točaka $T$ i skicirajte taj skup u koordinatnoj ravnini.

%V0 Nađite jednadžbe zajedničkih tangenata parabola $$ y = 2x^{2} - 1\qquad \text{i}\qquad y = (x - 1)^{2}. $$