Školjka

%V0 Neka je $a \in \mathbb{R} \backslash \{0\}$ i $n \in \mathbb{N}$. Odredite sumu $$ \sum_{0\le i<j\le n}a^ia^j. $$

%V0 Za realan broj $x$ definiraju se: najveće cijelo od $x$, $\lfloor x \rfloor$ je najveći cijeli broj koji nije veći od $x$ i decimalni dio od $x$, $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$. Npr.\ $\lfloor 3.14\rfloor =3$, $\{3.14\}=0.14$, $\lfloor -2.4 \rfloor =-3$, $\{-2.4\}=0.6$. Odredi sve pozitivne brojeve $x$ za kojeg su $\{x\}$, $\lfloor x \rfloor $ i $x$ tri uzastopna člana geometrijskog niza.

%V0 U skupu realnih brojeva riješi sustav jednadžbi $$$ \begin{align*} x^{2006}+y^{2006}+z^{2006}&=2, \\ x^{2007}+y^{2007}+z^{2007}&=2, \\ x^{2008}+y^{2008}+z^{2008}&=2. \end{align*}$$$

%V0 Nađi međusobne omjere realnih brojeva $x$, $y$, $z$ ako uz zadane brojeve $a$, $b$, $c$, $abc\ne-1$, vrijede jednakosti $$ x+by=y+cz=z+ax. $$

%V0 U skupu kompleksnih brojeva riješi jednadžbe $a)$ $z^3=\overline{z}$ $b)$ $z^5=\overline{z}$.

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ kompleksni brojevi za koje vrijedi $$ a+b+c=0, \qquad ab+bc+ca=0.$$ Dokaži da je $|a|=|b|=|c|$.