Školjka

%V0 Kružnice $k_1$ i $k_2$, polumjera $r$ i $R$ redom ($r<R$) dodiruju se iznutra u točki $A$. Neka je $p$ pravac paralelan njihovoj zajedničkoj tangenti, neka je $B$ jedno sjecište pravca $p$ s kružnicom $k_1$, a $C$ jedno sjecište pravca $p$ s kružnicom $k_2$, tako da se točke $B$ i $C$ nalaze s iste strane pravca koji spaja središta danih kružnica. Dokaži da polumjer kružnice opisane trokutu $ABC$ ne ovisi o izboru pravca $p$ i izrazi taj polumjer pomoću $r$ i $R$.

%V0 U ravnini su dane točke $A$, $B$ i $C$. Neka su $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ i $I$ točke u istoj ravnini takve da su trokuti $ABD$, $BAE$, $CAF$, $DFG$, $ECH$ i $GHI$ pozitivno orijentirani jednakostranični trokuti. Dokažite da je točka $E$ polovište dužine $\overline{AI}$.

%V0 U trokutu $A_1A_2A_3$ označimo: $a_1=|A_2A_3|$, $a_2=|A_1A_3|$, $a_3=|A_1A_2|$. Duljine visina tog trokuta iz vrhova $A_1$, $A_2$, $A_3$ označimo redom sa $v_1$, $v_2$, $v_3$. Promatrajmo sve brojeve oblika $a_1v_i + a_2v_j + a_3v_k$ gdje je $(i, j, k)$ bilo koja permutacija skupa $\{1, 2, 3\}$. Nađite najmanji od tih brojeva i izrazite ga pomoću površine $P$ trokuta $A_1A_2A_3$.

%V0 Trokut $ABC$ je šiljastokutan. Za bilo koju točku $T$ iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta $ABC$, točke $T_a$, $T_b$, $T_c$ su redom nožišta okomica iz $T$ na stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$. Ako je $$ f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|}, $$ dokažite da $f(T)$ ne ovisi o izboru točke $T$ ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

%V0 U trokutu $ABC$ povučene su simetrale $AD$ i $BE$ kutova $\angle CAB$ i $\angle ABC$ ($D$ i $E$ su točke na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$). Nađite kut $\gamma = \;\angle BCA$ ako je $|AD|\cdot |BC| = |BE|\cdot |AC|\;$ i $\;|AC|\ne |BC|.$

%V0 Na stranici $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ leže redom točke $N$, $L$ i $M$, pri čemu je $\overline{AN}$ visina, $AL$ simetrala kuta $\angle CAB$ i $\overline{AM}$ težišnica. Ako je $\angle NAB=\angle LAN=\angle MAL=\angle CAM$, odredite kutove trokuta.