Školjka

%V0 Kružnice $k_1$ i $k_2$, polumjera $r$ i $R$ redom ($r<R$) dodiruju se iznutra u točki $A$. Neka je $p$ pravac paralelan njihovoj zajedničkoj tangenti, neka je $B$ jedno sjecište pravca $p$ s kružnicom $k_1$, a $C$ jedno sjecište pravca $p$ s kružnicom $k_2$, tako da se točke $B$ i $C$ nalaze s iste strane pravca koji spaja središta danih kružnica. Dokaži da polumjer kružnice opisane trokutu $ABC$ ne ovisi o izboru pravca $p$ i izrazi taj polumjer pomoću $r$ i $R$.

%V0 Zadana je hiperbola sa središtem $O$. Pravci kroz neku njenu točku paralelni njenim asimptotama sijeku realnu os te hiperbole u točkama $U$ i $V$ tako da je $|OU|<|OV|$. Neka je točka $K$ presjek okomice na realnu os hiperbole u točki $U$ i polukružnice s promjerom $\overline{OV}$. Dokaži da je $|OK|=a$, pri čemu je $a$ duljina realne poluosi dane hiperbole.

%V0 U ravnini su dane točke $A$, $B$ i $C$. Neka su $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ i $I$ točke u istoj ravnini takve da su trokuti $ABD$, $BAE$, $CAF$, $DFG$, $ECH$ i $GHI$ pozitivno orijentirani jednakostranični trokuti. Dokažite da je točka $E$ polovište dužine $\overline{AI}$.

%V0 Odredite skup svih središta kružnica koje izvana dodiruju kružnice $$ x^2+y^2=9\quad \text{i}\quad (x-5)^2+y^2=4. $$

%V0 Dokažite da za različite točke $A$, $B$, $C$ i $D$ na jednakostraničnoj hiperboli iz $AB \perp CD$ slijedi $AC \perp BD$ i $AD \perp BC.$

%V0 Krakovi jednakokračnog trokuta $ABC$ diraju kružnicu čije se središte nalazi na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom. Dokažite da je $$|PB| \cdot |CQ| = (\frac{1}{2} |BC|)^2$$ ako i samo ako je $PQ$ tangenta promatrane kružnice.