Školjka

%V0 Neka su $a$ i $b$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a>b$ i $ab=1$. Dokaži da tada vrijedi nejednakost $\dfrac{a-b}{a^2+b^2} \leq \dfrac{\sqrt{2}}4$. Ako vrijedi jednakost, koliko je $a+b$?

%V0 Dokaži da za svaki realan broj $x$, $x>-1$, vrijedi nejednakost $$ \dfrac{x+x^2+x^3+x^4}{1+x^5}\leq 2. $$

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $ab+bc+ca=1$. Dokaži nejednakost $$ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq \sqrt{3}+\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}. $$

%V0 Neka su $x$, $y$, $z$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $x^3+y^3+z^3=1$. Dokaži da je tada $$ x^2+y^2+z^2 > x^5+y^5+z^5+2x^2y^2z^2(x+y+z). $$

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a+b+c=abc$. Dokaži da vrijedi $$ a^5\left(bc-1\right)+b^5\left(ca-1\right)+c^5\left(ab-1\right)\ge 54\sqrt{3}. $$

%V0 Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ veći od $2$ vrijedi $$ \dfrac12<\dfrac1{n}+\dfrac1{n+1}+\dfrac1{n+2}+\dots+\dfrac1{2n}<1. $$