Školjka

%V0 Ako su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $$ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1, $$ dokažite nejednakost $$ (a-1)(b-1)(c-1)\geq 8. $$

%V0 Dokaži da za svaki realan broj $x$, $x>-1$, vrijedi nejednakost $$ \dfrac{x+x^2+x^3+x^4}{1+x^5}\leq 2. $$

%V0 Jedna zagrebačka obitelj krenut će ove godine na ljetovanje na Jadran posljednjeg dana u mjesecu. Umnožak rednog broja dana polaska i rednog broja mjeseca povratka s brojem djece u obitelji te brojem dana ljetovanja je $14384$. Odredite datum povratka.

%V0 Dokažite da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi nejednakost $$\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{6}}{5} + \frac{\sqrt{12}}{7} + \ldots + \frac{\sqrt{n(n + 1)}}{2n + 1} < \frac{n}{2}\text{.}$$

%V0 Dokažite da je $x^8-x^5+x^2-x+1>0$ za svaki realan broj $x$.

%V0 Odredi najveći cijeli broj $n$ za koji vrijedi nejednakost $$3\left(n-\dfrac 53\right)-2(4n+1)>6n+5\text{.}$$