Slični zadaci

Općinsko natjecanje 2002 SŠ1 1

Neka su $a$ , $b$ i $c$ međusobno različiti realni brojevi, od kojih nijedan nije jednak nuli, i za koje je $a+b+c=0$ . Dokažite da vrijedi:

a) $\displaystyle{\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}=3}$ ,

b) $\displaystyle{\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+ \frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c} +\frac{b}{c-a}\right)=9}$ .

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Općinsko natjecanje 1999 SŠ1 1

Ako su $a$ , $b$ i $c$ realni brojevi, takvi da je $a\ne b\ne c\ne a$ , dokažite da je $\frac{b-c}{(a-b)(a-c)} + \frac{c-a}{(b-c)(b-a)} + \frac{a-b}{(c-a)(c-b)} = \frac{2}{a-b} + \frac{2}{b-c} + \frac{2}{c-a}\text{.}$

Općinsko natjecanje 2000 SŠ1 3

Ako je $a+b=1$ i $ab\ne 0$ , dokažite jednakost $\frac{a}{b^3-1} - \frac{b}{a^3-1} = \frac{2(b-a)}{a^2b^2+3}\text{.}$

Općinsko natjecanje 2001 SŠ1 4

Ako su $x$ , $y$ i $z$ pozitivni realni brojevi takvi da je $xyz=1$ , dokažite da je vrijednost izraza $\frac{x+1}{xy+x+1} + \frac{y+1}{yz+y+1} + \frac{z+1}{zx+z+1}$ konstantna.

Općinsko natjecanje 2003 SŠ1 4

Ako za realne brojeve $a$ , $b$ , $c$ vrijedi $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = 1\text{,}$ dokažite da je $\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} = 0\text{.}$

Općinsko natjecanje 2006 SŠ1 3

Ako su $a$ , $b$ i $c$ realni brojevi za koje je $a+b\neq0$ , $b+c\neq0$ i $a+c\neq0$ , dokaži da izraz: $\left(1+\dfrac{c}{a+b}\right) \left( 1+\dfrac{a}{b+c}\right) \left( 1+\dfrac{b}{a+c}\right) -\dfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}} {\left(a+b\right) \left(b+c\right) \left(a+c\right)}$ ne ovisi o vrijednostima brojeva $a$ , $b$ i $c$ .

Općinsko natjecanje 2011 SŠ1 4

Neka su $a$ , $b$ i $c$ realni brojevi takvi da je $a+b+c=3\qquad\text{i}\qquad \frac 1a + \frac 1b + \frac 1c= 0\text{.}$ Koliko je $a^2+b^2+c^2$ ?