Školjka

%V0 Iz neke točke hipotenuze pravokutnog trokuta spuste se okomice na katete. Neka su nožišta tih okomica $N_1$ i $N_2$. Kada će spojnica tih nožišta, $\overline{N_1 N_2}$, biti najkraća? Kolika je duljina te najkraće spojnice ako su duljine kateta $a$ i $b$?

%V0 U trokutu $ABC$ je $a = |BC|$, $b = |AC|$, $c = |AB|$. Dokažite da je duljina $t_a$, težišnice iz vrha $A$, jednaka $$t_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}\text{.}$$

%V0 Dan je jednakokračan trokut $ABC$ kojemu je kut uz vrh $A$ jednak $120^\circ $. Okomica iz tog vrha na krak trokuta dijeli trokut na dva trokuta od kojih tupokutan ima polumjer upisane kružnice $1$. Kolika je površina trokuta $ABC$?

%V0 Nad stranicama jednakokračnog pravokutnog trokuta $ABC$ s katetom duljine $a$ nacrtani su s vanjske strane kvadrati $ABLK$, $BCNM$ i $CAQP$. Odredi površinu i opseg šesterokuta $KLMNPQ$.

%V0 U trokutu $ABC$ vrijedi $\angle{BAC}= 120^\circ$. Točka $D$ nalazi se unutar trokuta tako da vrijedi $\angle{DBC}= 2\,\angle{ABD}$ i $\angle{DCB}= 2\,\angle{ACD}$. Izračunaj mjeru kuta $\angle{BDC}$.

%V0 Pravokutni trokut $ABC$ s katetama duljina $15$ cm i $20$ cm i pravim kutom u vrhu $B$ sukladan je trokutu $BDE$ s pravim kutom u vrhu $D$. Točka $C$ leži unutar dužine $\overline{BD}$, a točke $A$ i $E$ nalaze se s iste strane pravca $BD$. a) Odredi udaljenost točaka $A$ i $E$. b) Izračunaj površinu presjeka trokuta $ABC$ i $BDE$.