Školjka

%V0 Odredi najveći prirodni broj $n$ takav da postoji niz od $n$ realnih brojeva sa sljedećim svojstvima: $i)$ zbroj svaka tri uzastopna člana niza je pozitivan, $ii)$ zbroj svakih pet uzastopnih članova niza je negativan.

%V0 Neka je $(a_n)$ niz pozitivnih cijelih brojeva, takav da je $a_1<a_2$ i $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ za $n \ge 1$. Ako je $a_7=120$, koliko je $a_8$?

%V0 niz realnih brojeva $(a_n)_{n \geq 0}$ ima svojstvo da za sve $m \geq n \geq 0$ vrijedi $a_{m+n} + a_{m-n} = \frac{1}{2}(a_{2m} + a_{2n})$ odredite $a_{2003}$ ako je $a_1 = 1$

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ proizvoljni realni brojevi. Dokaži da je barem jedan od brojeva $$\left(a+b+c\right)^2 - 9ab \text{,} \quad \left(a+b+c\right)^2 - 9bc \text{,} \quad \left(a+b+c\right)^2 - 9ca$$ nenegativan.

%V0 Nađite realna rješenja sustava jednadžbi: $$$\begin{gather*} x + y + z = 2\\ \left(x + y\right)\left(y + z\right) + \left(y + z\right)\left(z + x\right) + \left(z + x\right)\left(x + y\right) = 1\\ x^{2}\left(y + z\right) + y^2\left(z+x\right) + z^2\left(x+y\right) = -6 \text{.} \end{gather*} $$$

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi $$a+\frac1b=b+\frac1c=c+\frac1a \text{.}$$ Dokaži da je $\displaystyle a+\frac1b=-abc$.