Slični zadaci

Državno natjecanje 2011 SŠ1 4

Dan je tetivni četverokut $ABCD$ . Simetrala dužine $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{AB}$ u točki $E$ . Kružnica koja prolazi točkom $E$ , vrhom $C$ i polovištem $F$ stranice $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{CD}$ u točki $G$ . Dokaži da su pravci $AD$ i $FG$ međusobno okomiti.

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 2004 SŠ1 2

Dokažite da su težišnice iz vrhova $A$ i $B$ trokuta $ABC$ međusobno okomite ako i samo ako za duljine stranica vrijedi jednakost $\left\vert BC \right\vert^2 + \left\vert AC \right\vert^2 = 5 \left\vert AB \right\vert^2 \text{.}$

Državno natjecanje 2005 SŠ1 2

Spojnice središta trokutu upisane kružnice i njegovih vrhova dijele ga na tri trokuta od kojih je jedan sličan polaznome. Odredite kutove polaznog trokuta.

Državno natjecanje 2005 SŠ1 4

Duljine stranica trokuta su $a$ , $b$ i $c$ , a $R$ je duljina polumjera opisane mu kružnice. Odredite kutove trokuta ako vrijedi $R = \displaystyle \frac{a\sqrt{bc}}{b+c}$ .

Državno natjecanje 2006 SŠ1 3

Iz jednog vrha šiljastokutnog trokuta povučena je visina, iz drugog težišnica, a iz trećeg simetrala kuta. Ta tri pravca ne prolaze istom točkom, već njihove točke presjeka čine vrhove novog trokuta. Dokaži da novi trokut ne može biti jednakostraničan.

Državno natjecanje 2007 SŠ1 2

Na polupravcima $p$ i $q$ sa zajedničkim početkom $O$ dane su točke $A$ i $C$ (na $p$ ) te $B$ i $D$ (na $q$ ). Ako je pravac $CD$ paralelan s težišnicom trokuta $OAB$ , dokažite da je pravac $AB$ paralelan s težišnicom trokuta $OCD$ .

Državno natjecanje 2009 SŠ1 2

Zadan je konveksan četverokut $ABCD$ koji nije paralelogram. Neka pravac koji prolazi kroz polovišta dijagonala četverokuta siječe stranice $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ redom u točkama $M$ i $N$ . Dokaži da trokuti $ABN$ i $CDM$ imaju jednake površine.