Školjka

%V0 U pravokutan trokut s hipotenuzom duljine $c=35$ upisan je kvadrat sa stranicom duljine $d=12$, kao na slici. Odredite duljine kateta tog trokuta. [img attachment=2 width=120px]

%V0 Trokut $ABC$ je jednakokračan ($|AB|=|AC|$) a točka $D$ je na onom luku $\widehat{BC}$ trokutu opisane kružnice koji ne sadrži vrh $A$. Nadalje, točka $E$ je sjecište pravca $CD$ i okomice iz vrha $A$ na taj pravac. Dokažite da vrijedi: $$|BD|+|DC|=2|DE|.$$

%V0 U jednakokračnom trokutu jedakn kut iznosi $108^\circ$. Dokažite da je omjer duljina osnovice i kraka tog trokuta jednak $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

%V0 Stranica $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ dira njegovu upisanu kružnicu u točki $D$, a tom trokutu pripisana kružnica uz stranicu $\overline{BC}$ dira tu stranicu u točki $E$. Dokaži da su točke $D$ i $E$ simetrične u odnosu na polovište stranice $\overline{BC}$. (Trokutu pripisana kružnica je kružnica koja dodiruje jednu stranicu trokuta i produžetke drugih dviju stranica.)

%V0 U pravokutnom trokutu duljina visine na hipotenuzu je $4$ cm, a duljina težišnice iz vrha pravog kuta $5$ cm. Odredi zbroj duljina kateta tog trokuta.

%V0 U trokutu $ABC$ poznati su kutovi $\angle CAB=35^\circ$ i $\angle ABC=60^\circ$. Ako je $t$ tangenta na kružnicu opisanu tom trokutu s diralištem u vrhu $C$, a $p$ paralela s pravcem $AB$ kroz vrh $C$, odredi kut između pravaca $p$ i $t$.