Školjka

%V0 Neka su $ R $ i $ r $ polumjeri opisane i upisane kružnice pravokutnog trokuta. Dokažite nejednakost $$R \geq r(1+\sqrt{2})\text{.}$$

%V0 U jednakostraničnom trokutu $ABC$ dane su točke $D\in \overline{AB}$ i $E\in \overline{BC}$ takve da je $|AD|=\displaystyle\dfrac{1}{3}|AB|$ i $|BE|=\displaystyle\dfrac{1}{3}|BC|$. Pravci $AE$ i $CD$ sijeku se u točki $P$. Koliki je kut $\angle BPC$?

%V0 Trokut $ABC$ je jednakokračan ($|AB|=|AC|$) a točka $D$ je na onom luku $\widehat{BC}$ trokutu opisane kružnice koji ne sadrži vrh $A$. Nadalje, točka $E$ je sjecište pravca $CD$ i okomice iz vrha $A$ na taj pravac. Dokažite da vrijedi: $$|BD|+|DC|=2|DE|.$$

%V0 U trokutu $ABC$ poznati su kutovi $\angle CAB=35^\circ$ i $\angle ABC=60^\circ$. Ako je $t$ tangenta na kružnicu opisanu tom trokutu s diralištem u vrhu $C$, a $p$ paralela s pravcem $AB$ kroz vrh $C$, odredi kut između pravaca $p$ i $t$.

%V0 Ako su $\alpha $, $\beta $ i $\gamma $ kutovi trokuta s duljinama stranicama $a$, $b$ i $c$, dokažite nejednakost $$ \frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\geq 4\left(\sin^2\frac{\alpha }{2}+\sin ^2\frac{\beta }{2} +\sin ^2\frac{\gamma}{2}\right). $$

%V0 Ako su $\alpha $ i $\beta $ kutovi trokuta, dokažite nejednakost $$ \dfrac{\sin (\alpha +\beta)}{2\sin \alpha \sin \beta}\ge \ctg \dfrac{\alpha +\beta}{2}. $$