Školjka

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ tri različita realna broja od kojih niti jedan nije jednak nula. Promatramo kvadratne jednadžbe: $$ a x^2 + b x + c= 0, \quad b x^2 + c x + a= 0, \quad c x^2 + a x + b= 0. $$ Ako je $\dfrac{c}{a}$ rješenje prve jednadžbe, dokaži da sve tri jednadžbe imaju zajedničko rješenje. Odredi umnožak drugih triju rješenja tih jednadžbi (ne-zajedničkih).

%V0 Žicom duljine $10$ km treba ograditi pravokutno zemljište koje s jedne strane ima ravni zid (žicu je potrebno koristiti za preostale tri stranice), tako da površina tog zemljišta bude najveća moguća. Kolika je površina tako ograđenog zemljišta?

%V0 Dane su dvije kvadratne jednadžbe $$ x^2+ax+1=0, \qquad x^2+x+a=0. $$ Odredi sve vrijednosti parametra $a$ za koje te jednadžbe imaju barem jedno zajedničko rješenje.

%V0 Skrati razlomak $$ \dfrac{(2^{n-1}+1)^2-4^{n-1}}{4^n+2^{n+1}+1}. $$

%V0 Odredi sve realne parametre $m$ za koje funkcija $$ f(x)=x^2+(m+3)x+(m+2) $$ zadovoljava sljedeća dva uvjeta: $a)$ $f(x)<0$ za sve $x\in \left< -1,3 \right>$; $b)$ zbroj recipročnih vrijednosti nultočaka manji je od $\dfrac 13$.

%V0 Ako su $a$ i $b$ realni brojevi, različiti od nule, nađite sva rješenja jednadžbe $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}=\frac{1}{a+b+x}.$$