Školjka

%V0 Dokaži da iz jednakosti $$a^{3}+b^{3}+c^{3}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=a+b+c=1$$ slijedi $abc=0$.

%V0 Brojevi $x$ i $y$ zadovoljavaju sustav jednadžbi: $$$\begin{align*} x+y+\displaystyle\dfrac{x}{y}&=19, \\ \displaystyle\dfrac{x(x+y)}{y}&=60. \end{align*}$$$ Koje sve vrijednosti može poprimiti $x+y$?

%V0 Ako su $a$ i $b$ realni brojevi, različiti od nule, nađite sva rješenja jednadžbe $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}=\frac{1}{a+b+x}.$$

%V0 Dani su kompleksni brojevi $z=\dfrac{2t-i}{t+i}$ za $t \in \mathbb{R}$. $a)$ Koje sve vrijednosti može poprimiti $|z|$? $b)$ Odredite skup parametara $t$ za koje vrijedi $$| 3 \, \mbox{Re} \, z + \mbox{Im} \, z| < 3 \text{.}$$

%V0 Nađite sve realne brojeve $x$, $y$ koji zadovoljavaju jednadžbu $$(x^2+y^2-4)^2(xy-1)^2+\sqrt{y^2-x^2}=0.$$

%V0 Odredi sve realne brojeve $a$ takve da, za svaki realan broj $x$, vrijedi $$ \dfrac{x}{x^2 + 2 x + 3} > \dfrac{x + a}{1+x+x^2}. $$