Školjka

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $ab+bc+ca=1$. Dokaži nejednakost $$ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq \sqrt{3}+\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}. $$

%V0 Dokažite da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi nejednakost $$\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{6}}{5} + \frac{\sqrt{12}}{7} + \ldots + \frac{\sqrt{n(n + 1)}}{2n + 1} < \frac{n}{2}\text{.}$$

%V0 Riješite jednadžbu $$\frac{1}{2^{2x}+3} \ge \frac{1}{2^{x+2}-1}.$$

%V0 Za koje vrijednosti broja $m$ vrijedi $$ -3< \frac{x^2-mx+1}{x^2+x+1}<3 $$ za svaki realni broj $x$?

%V0 Odredi sve realne brojeve $a$ takve da, za svaki realan broj $x$, vrijedi $$ \dfrac{x}{x^2 + 2 x + 3} > \dfrac{x + a}{1+x+x^2}. $$

%V0 Dokaži da za svaki prirodni broj $n$ vrijedi nejednakost $$ \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\dots+\dfrac{1}{3n}+\dfrac{1}{3n+1}>1. $$