Školjka

%V0 Dvije kružnice sijeku se u točkama $P$ i $Q$. Ako dva pravca koja prolaze kroz točku $Q$ sijeku prvu kružnicu u točkama $A$ i $B$, a drugu kružnicu u točkama $C$ i $D$, dokaži da su trokuti $PAB$ i $PCD$ slični.

%V0 Stranica $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ dira njegovu upisanu kružnicu u točki $D$, a tom trokutu pripisana kružnica uz stranicu $\overline{BC}$ dira tu stranicu u točki $E$. Dokaži da su točke $D$ i $E$ simetrične u odnosu na polovište stranice $\overline{BC}$. (Trokutu pripisana kružnica je kružnica koja dodiruje jednu stranicu trokuta i produžetke drugih dviju stranica.)

%V0 Trokut $ABC$ je jednakokračan ($|AB|=|AC|$) a točka $D$ je na onom luku $\widehat{BC}$ trokutu opisane kružnice koji ne sadrži vrh $A$. Nadalje, točka $E$ je sjecište pravca $CD$ i okomice iz vrha $A$ na taj pravac. Dokažite da vrijedi: $$|BD|+|DC|=2|DE|.$$

%V0 U jednakostraničnom trokutu $ABC$ dane su točke $D\in \overline{AB}$ i $E\in \overline{BC}$ takve da je $|AD|=\displaystyle\dfrac{1}{3}|AB|$ i $|BE|=\displaystyle\dfrac{1}{3}|BC|$. Pravci $AE$ i $CD$ sijeku se u točki $P$. Koliki je kut $\angle BPC$?

%V0 Trokutu $ABC$ sa stranicama duljina $a=|BC|$, $b=|AC|$, $c=|AB|$ opisana je kružnica. Tangenta na tu kružnicu u točki $C$ okomita je na stranicu $\overline{AB}$. Dokažite da je $$(a^2-b^2)^2 = c^2(a^2+b^2) \text{.}$$

%V0 Iz vrha $A$ paralelograma $ABCD$ spuštene su okomice $AM$ i $AN$ na pravce $BC$ i $CD$. Dokažite da su trokuti $ABC$ i $MAN$ slični.