Školjka

%V0 Neka se točke $D$ i $E$ nalaze redom na stranicama $AB$ i $AC$ trokuta $ABC$. Simetrale kutova $\angle ABE$ i $\angle ACD$ sijeku se u točki $F$. Dokažite da je $\angle BDC + \angle BEC = 2 \angle BFC$.

%V0 Nad stranicama $BC$ i $CD$ kvadrata $ABCD$ konstruirani su jednakostranični trokuti $\triangle BPC$ i $\triangle DCQ$. Dokažite da je trokut $\triangle APQ$ jednakostraničan.

%V0 Točke $O$ i $S$ su redom središta opisane i upisane kružnice trokuta. Izrazite $\angle OBS$ pomoću kuteva $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$.

%V0 Neka je $\triangle ABC$ pravokutan trokut s pravim kutom pri vrhu $C$. Dokažite da su polovišta stranica, vrh $C$ i nožište visine iz vrha $C$ koncikličke.

%V0 Neka je $O$ središte opisane kružnice, a $D$ nožište visine na $BC$ u trokutu $\triangle ABC$. Dokažite $BAD = \angle OAC$.

%V0 Dijagonale tetivnog četverokuta $ABCD$ sijeku se u točki $S$. Kružnica $k_1$ opisana trokutu $\triangle ABS$ siječe pravac $BC$ u točki $M$, a kružnica $k_2$ opisana trokutu $\triangle ADS$ siječe pravac $CD$ u točki $N$. Dokažite da su točke $S$, $M$ i $N$ kolinearne.

%V0 Dijagonale tetivnog četverokuta $ABCD$ sijeku se u točki $S$. Ortogonalne projekcije točke $S$ na stranice četverokuta se nalaze unutar stranica četverokuta. Dokažite da su te projekcije vrhovi tangencijalnog četverokuta.

%V0 Zadan je tetivni četverokut $ABCD$ čije su dijagonale $AC$ i $BD$ međusobno okomite. Neka je $E$ sjecište dijagonala, a $F$ nožište visine iz vrha $B$ na stranicu $AD$. Dokažite da vrijedi $FBD = \angle CBD$.

%V0 Neka je $AB$ zajednička tetiva dviju kružnica. Pravac kroz $A$ siječe jednu kružnicu u $C$, a drugu u $D$. Tangente u točkama $C$ i $D$ sijeku se u točki $M$. Dokažite da je četverokut $BCMD$ tetivan. (hint: Prvo dokažite da je kut između tetive nad lukom kružnice i tangente u jednom od krajeva tetive jednak obodnom kutu nad tim lukom.)

%V0 Na stranici $AB$ trokuta $\triangle ABC$ leže točke $F$, $G$, $H$ tako da je $F$ između $A$ i $G$, a $H$ između $G$ i $B$. Ako je $|BH| = |BC|$, $|HG| = |HC|$, $|GF| = |GC|$, $|FA| = |FC|$ te $\angle CAB = 5^{\circ}$. Izračunajte koliki je $\angle ABC$.

%V0 U trokutu $\triangle ABC$ vrijedi $\angle BAC = 120^{\circ}$. Točka $D$ nalazi se unutar trokuta tako da vrijedi $DBC = 2 \angle ABD$ i $\angle DCB = 2 \angle ACD$. Izračunaj mjeru kuta $\angle BDC$.

%V0 Kružnice $k_1$ i $k_2$ s polumjerima $r_1$ i $r_2$ ($r_1 < r_2$) dodiruju se iznutra u točki $P$. Neka je $q$ jedna tangenta na $k_1$, koja ju dodiruje u točki $R$ i paralelna je zajedničkom promjeru danih kružnica. Neka su $M$ i $N$ sjecišta tangente $q$ s $k_2$. Dokažite da je $PR$ simetrala kuta $\angle MPN$.

%V0 Spojnice središta trokutu upisane kružnice i njegovih vrhova dijele ga na tri trokuta od kojih je jedan sličan polaznome. Odredite kutove polaznog trokuta.

%V0 Središte $U$ upisane kružnice trokuta $\triangle ABC$ spojeno je dužinama s njegovim vrhovima. Neka su $O_1$, $O_2$, $O_3$ središta kružnica opisanih trokutima $\triangle BCU$, $\triangle CAU$, $\triangle ABU$. Dokažite da kružnice opisane trokutima $\triangle ABC$ i $\triangle O_1O_2O_3$ imaju zajedničko središte.

%V0 Upisana kružnica dodiruje stranice $AB$ i $AC$ trokuta $\triangle ABC$ u točkama $M$ i $N$. Neka je $P$ sjecište pravca $MN$ i simetrale kuta $\angle ABC$. Dokažite da je $BP \perp CP$.

%V0 Iz jednog vrha šiljastokutnog trokuta povučena je visina, iz drugog težišnica, a iz trećeg simetrala kuta. Ta tri pravca ne prolaze istom točkom, već njihove točke presjeka čine vrhove novog trokuta. Dokažite da novi trokut ne može biti jednakostraničan.

%V0 U trokutu $\triangle ABC$ vrijedi $\angle ACB = 90^{\circ} + 2 \angle CBA$, a $M$ je polovište dužine $BC$. Kružnica sa središtem u točki $A$ siječe pravac $BC$ u točkama $M$ i $D$. Dokažite da je $|MD| = |AB|$.

%V0 Dokažite da je zbroj unutrašnjih kuteva $n$-terokuta jednak $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$.

%V0 Dane su četiri točke $A$, $B$, $C$ i $D$ u ravnini tako da je $|AB|=|AC|$ i $|AD|=|BD|$. Ako je za kutove $\alpha$ i $\beta $ označene na slici, $\alpha +\beta =200^\circ$, odredite kut $\varphi =\angle CBD$. [img attachment=3 width=200px]

%V0 Na slici je pravilni peterokut s dijagonalama. Dokaži da su istaknute dužine sukladne. [img attachment=2 width=100px]