Školjka

%V0 Nađite sve $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ takve da je $$f(x + y) + f(x - y) = x^2 + y^2\text{.}$$

%V0 Nađite sve $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ takve da je $$f(x + y) + 2f(x - y) + f(x) + 2f(y) = 4x + y\text{.}$$

%V0 Ako je $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ rastuća bijekcija, dokažite da je $f(n) = n \quad \forall n \in \mathbb{N}$.

%V0 Ako je $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ strogo rastuća surjekcija, dokažite da je $f(n) = n \quad \forall n \in \mathbb{N}$.

%V0 Zadane su funkcije $f$ i $g$ iz $\mathbb{R}$ u $\mathbb{R}$. $f$ je bijekcija i za svaki realni $x$ vrijedi: $$f(x) + g(x) = 2\text{.}$$ Pokaži da postoji točno jedan $x_0$ takav da je: $$f(f(x_0)) + g(g(x_0)) = 2\text{.}$$

%V0 Postoji li par funkcija $(f, g)$ iz $\mathbb{N}$ u $\mathbb{N}$ koje su obje strogo rastuće i vrijedi: $$f(g(g(x))) < g(f(x))\text{?}$$

%V0 Nađite sve funkcije $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ takve da su za sve parove $(a, b)$ brojevi $a, f(b), f(b + f(a) - 1)$ duljina stranica trokuta u nekom poretku.

%V0 Nađite sve funkcije $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ takve da je $$f( x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)\text{.}$$

%V0 Nađite sve $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ takve da je $$f(x^2 + f(y)) = y - x^2\text{.}$$

%V0 Neka je $f : \mathbb{R}^+_0 \rightarrow \mathbb{R}^+_0$ i $a \in (0, \frac12)$ pri čemu je $f(x) \leq x \, \forall x \in \mathbb{R}^+_0$ i $$ f\left( \frac{x + y}{2} \right) \leq a f(x) + (1 - a)f(y)\text{.}$$ Pronađi sve takve funkcije.

%V0 Nađite sve $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ takve da je $$f(f(x) + y) = 2x + f(f(y) - x)\text{.}$$

%V0 Nađite sve $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ takve da je $$x f(x + xy) = xf(x) + f(x^2)f(y)\text{.}$$

%V0 Nađite sve $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ takve da je $$f(f(x)) + f(x) = 2x\text{.}$$

%V0 Nađite sve $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ takve da je $$f(f(x)) + f(x) = 2x\text{.}$$

%V0 Analiziraj funkcijsku jednadžbu $$f(x + y) = f(x) + f(y)\text{.}$$ Što možemo zaključiti ako je funkcija definirana na racionalnim brojevima, a što ako na realnima?

%V0 Nađite sve $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ takve da je $$f(xy) = f(x) + f(y)\text{.}$$

%V0 Nađite sve $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ takve da je $$f(x + y) = f(x)f(y)\text{.}$$

%V0 Nađite sve $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+_0$ takve da je $$f(x^2 + y^2) = f(x^2 - y^2) + f(2xy)\text{.}$$

%V0 Nađi sve polinome $P$ za koje je $(x - 1)(x - 3)P(x) = (x - 5)(x - 7)P(x + 4)$.

%V0 Nađi sve polinome $P$ za koje je $P(x + 1) = P(x) + 2x + 1$.