Školjka

%V0 Dužina $AB$ je dulja stranica pravokutnika $ABCD$. Okomica iz $B$ na dijagonalu $AC$ siječe pravac $AD$ u točki $E$, a kružnica sa središtem u $A$ koja prolazi kroz $B$ siječe $CD$ u $F$. Dokažite da su $AF$ i $EF$ okomiti.

%V0 Dan je trokut $ABC$, u kojem je $D$ nožište visine iz vrha $A$. Neka su $E$ i $F$ točke na pravcu kroz $D$ različite od $D$ takve da je $AE$ okomito na $BE$, a $AF$ na $CF$. Neka su $M$ i $N$ polovišta $BC$ i $EF$. Dokažite da je $AN$ okomito na $MN$.

%V0 Dokažite da: a) točke osnosimetrične ortocentru s obzirom na stranice leže na opisanoj kružnici trokuta b) točke centralnosimetrične ortocentru s obzirom na polovišta stranica zadanog trokuta leže na opisanoj kružnici trokuta.

%V0 Neka je $CD$ tetiva okomita na promjer $AB$ kružnice $k$, i $DP$ bilo koja tetiva kružnice. Neka je $Q$ sjecište $DP$ i $AB$. Dokažite da je $CA$ simetrala $\angle PCQ$.

%V0 Dvije kružnice $k_1$, $k_2$ sijeku se u $A$, $B$. Neka je $P$ točka na $k_1$, a $Q$ na $k_2$ takva da su $P$, $Q$ i $A$ kolinearne. Dokažite da omjer $|BP|/|BQ|$ ne ovisi o odabiru točaka $P$ i $Q$.

%V0 Dvije kružnice dodiruju se u točki $B$. Tangenta na jednu kružnicu u $A$ siječe drugu u točkama $C$ i $D$. Dokažite da je $A$ jednako udaljena od pravaca $BC$ i $BD$.

%V0 U trokutu $ABC$ je $\angle ACB=90^{\circ} + \frac12 \angle CBA$, a $M$ je polovište $|BC|$. Kružnica sa središtem u $A$ siječe $BC$ u $M$ i $D$. Dokažite $MD = AB$.

%V0 Dokažite da ako je $H$ ortocentar, a $O$ centar opisane kružnice trokuta $ABC$ tada je $$\angle BAC = 60^{\circ} \Leftrightarrow AH = AO\text{.}$$

%V0 Neka je $K$ polovište stranice $AB$ trokuta $ABC$. Neka su $L$ i $M$ redom točke na stranicama $AC$ i $BC$ takve da je $\angle CLK = \angle KMC$. Dokaži da su okomice na $AB$, $AC$, $BC$ redom iz $K$, $L$, $M$ konkurentne.

%V0 Neka upisana kružnica trokuta $ABC$ dira $BC$ u $D$, a neka je $DT$ dijametar upisane kružnice. Ako se $AT$ i $BC$ sijeku u $X$, dokažite da je tada $BD = CX$.

%V0 Ćevidova lema. Neka se dvije kružnice $k_1$, $k_2$ sijeku u točkama $A$, $B$. Neka su na $AB$ odabrane dvije točke $X$, $Y$. Neka tangenta iz $X$ dira $k_1$ u $K$, tangenta iz $X$ dira $k_2$ u $L$, tangenta iz $Y$ dira $k_1$ u $M$, te tangenta iz $Y$ dira $k_2$ u $N$. Također, neka su sve tangente s iste strane pravca $AB$. Dokaži da je $KLMN$ tetivan.

%V0 Neka je $ABC$ trokut i $J$ središte tom trokutu pripisane kružnice nasuprot vrhu $A$. Ta pripisana kružnica dodiruje $BC$ u $M$, a pravce $AB$ i $AC$ redom u $K$ i $L$. Pravci $LM$ i $BJ$ sijeku se u $F$, a $KM$ i $CJ$ u $G$. Neka je $S$ sjecište $AF$ i $BC$ i neka je $T$ sjecište $AG$ i $BC$. Dokaži da je $M$ polovište $ST$.

%V0 Neka je $ABC$ trokut, a $O$ centar njemu opisane kružnice. $P$ i $Q$ su redom na $CA$ i $AB$. Kružnica $k$ prolazi redom kroz polovišta $BP$, $CQ$ i $PQ$. Pokaži da ako je $PQ$ tangenta na $k$ tada je $OP = OQ$.

%V0 Neka je točka $P$ unutar $ABC$. Pravci $AP$, $BP$, $CP$ sijeku opisanu kružnicu $ABC$ u redom $K$, $L$, $M$. Tangenta na opisanu kružnicu u $C$ siječe $AB$ u $S$. Dokaži da $SC = SP \Rightarrow MK = ML$.

%V0 Neka je $ABC$ šiljostokutan trokut s ortocentrom $H$ i neka je $W$ točka na $BC$ između $B$ i $C$. Točke $M$ i $N$ su nožišta visina redom iz $B$ i $C$. $k_1$ je opisana kružnica $BWN$, a $X$ točka takva da je $WX$ dijametar od $k_1$. Slično, $k_2$ je opisana kružnica $CWM$, a $Y$ je točka takva da je $WY$ dijametar $k_2$. Dokažite da su $X$, $Y$, $H$ kolinearne.