Školjka

%V0 Neka je $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$, gdje su $a,b,c$ realni brojevi različiti od nule. Dokažite da tada vrijedi: $$a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3.$$

%V0 U paralelogramu $ABCD$ simetrala kuta $\sphericalangle DAB$ raspolavlja dužinu $\overline{CD}$. Ako sa $M$ označimo polovište dužine $\overline{CD}$, odredite veličinu kuta $\sphericalangle AMB$.

%V0 Nađite sve prirodne brojeve $a,b$, $a<b$, takve da za sve realne brojeve $x,y\in[a,b]$ vrijedi $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\in[a,b].$$

%V0 Nađite: [b](a)[/b] neki prirodan broj $n>1$ koji je barem 2016 puta veći od svakog od svojih prostih faktora, [b](b)[/b] najmanji prirodan broj s tim svojstvom.

%V0 Svaki od $n$ kuhara zna dio nekog recepta za kolač (i svi znaju različite dijelove recepta, a zajedno znaju čitav recept). Dopušteno im je razmjenjivanje svih informacija koje znaju preko telefona, ali tako da u jednom telefonskom razgovoru sudjeluju točno dva kuhara i tijekom tog razgovora točno jedan od njih govori. Odredite najmanji broj telefonskih poziva potrebnih da bi svi kuhari znali čitav recept.