Školjka

%V0 Neka su $a,b,c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a+b+c\leqslant3$. Odredite najmanju moguću vrijednost izraza $$\frac{a+1}{a(a+2)}+\frac{b+1}{b(b+2)}+\frac{c+1}{c(c+2)}.$$

%V0 Odredite sve prirodne brojeve $n$ takve da za četiri najmanja djelitelja $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$ od $n$ vrijedi $$d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2=n.$$

%V0 Za okruglim stolom sjedi 10 učenika. Svaki od učenika zamisli jedan realan broj i taj broj priopći samo svojim susjedima (učenicima koji sjede lijevo i desno od njega) tako da ga pritom drugi učenici ne čuju. Nakon toga, idući u krug, svaki učenik javno kaže aritmetičku sredinu dva broja koja je saznao od svojih susjeda. Ako su redom izrečeni brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, koji je broj zamislio učenik koji je javno rekao broj 6? [i]Napomena.[/i] Aritmetička sredina dva realna broja jest jednaka zbroju tih brojeva podijeljenim s 2.

%V0 Upisana kružnica trokuta $ABC$ dira stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$. Neka su točke $G$ i $H$, tim redom, na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ takve da su pravci $GH$ i $BC$ paralelni te da je pravac $GH$ tangenta na upisanu kružnicu. Neka je točka $K$ diralište upisane kružnice i pravca $GH$, a točka $L$ sjecište pravaca $AD$ i $GH$. Dokažite da vrijedi $|GK|=|HL|$.

%V0 U tablici dimenzija $2n\times2n$ upisani su prirodni brojevi od 1 do 10, pri čemu su brojevi u poljima sa zajedničkim vrhom relativno prosti. Dokažite da postoji broj koji se u tablici pojavljuje barem $\dfrac{2n^2}{3}$ puta.