Odredi sumu: gdje označava najveći cijeli broj manji od .
Odredi sumu: $$\Bigl\lfloor\dfrac{2^0}{3}\Bigr\rfloor + \Bigl\lfloor\dfrac{2^1}{3}\Bigr\rfloor + ... + \Bigl\lfloor\dfrac{2^{2020}}{3}\Bigr\rfloor$$ \\ gdje $\lfloor x \rfloor$ označava najveći cijeli broj manji od $x$.
Odredi najmanji prirodan broj takav da za svaki skup koji sadrži točno cijelih brojeva postoje (različita) broja , , i iz za koje je djeljiv s .
Odredi najmanji prirodan broj $ n \geq 4$ takav da za svaki skup $S$ koji sadrži točno $n$ cijelih brojeva postoje $4$ (različita) broja $a$, $b$, $c$ i $d$ iz $S$ za koje je $a+b-c-d$ djeljiv s $20$.
Dan je paralelogram i u njemu točka tako da vrijedi . Odredi vrijednost izraza:
Dan je paralelogram $ABCD$ i u njemu točka $X$ tako da vrijedi $|\angle AXB| + |\angle CXD| = 180^\circ$. Odredi vrijednost izraza: $$ |\angle XAB| + |\angle XDC| + |\angle CXB|.$$
prijatelja igra nogomet. Prvo izaberu suca koji će momčadi podijeliti u tima od ljudi. Znamo da je težina svakog od njih prirodan broj i da je, bez obzira tko je sudac, uvijek moguće napraviti ekipe jednake ukupne težine. Dokaži da su svi prijatelji iste težine.
$23$ prijatelja igra nogomet. Prvo izaberu suca koji će momčadi podijeliti u $2$ tima od $11$ ljudi. Znamo da je težina svakog od njih prirodan broj i da je, bez obzira tko je sudac, uvijek moguće napraviti $2$ ekipe jednake ukupne težine. Dokaži da su svi prijatelji iste težine.
Školjka 
označava najveći cijeli broj manji od 
. 
, 
, 
takvi da vrijedi 
, 
. Dokaži nejednakost: 
takav da za svaki skup 
koji sadrži točno 
cijelih brojeva postoje 
(različita) broja 
iz 
djeljiv s 
. 
i u njemu točka 
tako da vrijedi 
. Odredi vrijednost izraza: 
prijatelja igra nogomet. Prvo izaberu suca koji će momčadi podijeliti u 
tima od 
ljudi. Znamo da je težina svakog od njih prirodan broj i da je, bez obzira tko je sudac, uvijek moguće napraviti