2. teža simulacija državnog natjecanja 2020.

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. - zadaci

Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić

22. listopada 2020.

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. - rješenja

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 1

Postoje li $3$ prirodna broja veća od $2^{2020}$ sa svojstvom da kada umnošku bilo koja $2$ ta broja dodamo $1$ dobijemo potpuni kvadrat?

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 2

Neka je $P(x)$ polinom sa realnim koeficijentima stupnja $2020$ . Ako $P(x^2-1)$ ima $3400$ realnih nultočaka, a $P(1-x^2)$ ima $2700$ realnih nultočaka, dokaži da onda postoje dvije realne nultočke od $P(x)$ takve da im je razlika manja od $0.002$ .

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 3

Odredi sve proste brojeve $p$ i $q$ za koje vrijedi da je $\dfrac{2^{p^2-q^2}-1}{pq}$ umnožak točno $2$ prosta broja.

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 4

Tetive $\overline{BC}$ i $\overline{DE}$ kružnice $w$ sijeku se u $A$ . Pravac kroz $D$ paralelan sa $\overline{BC}$ siječe $w$ ponovno u $F$ , a $\overline{FA}$ siječe $w$ ponovno u $T$ . Neka je $M$ presjek $\overline {ET}$ i $\overline{BC}$ , te neka je $N$ preslika $A$ preko $M$ . Pokaži da se polovište dužine $\overline{BC}$ nalazi na kružnici opisanoj $\triangle DEN$ .

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 5

Neka je $n$ prirodan broj veći od $3$ . Na kružnici je $2n-1$ jednako udaljenih točaka od kojih je točno $k$ obojano crveno. Takvo bojanje zovemo $dobrim$ ako postoji barem jedan par crvenih točaka takvih da se unutar jednog luka koji taj par tvori nalazi točno $n$ točaka. Odredi najmanji mogući $k$ za koji je svako bojanje točaka na kružnici $dobro$ .