Školjka

%V0 Duljine dviju stranica trokuta su $a$ i $b$, njima nasuprotni kutovi su $\alpha$ i $\beta$, a visina na treću stranicu ima duljinu $v$. $a)$ Ako za kutove vrijedi $\alpha + \beta = \dfrac \pi 2$ ili $|\alpha - \beta| = \dfrac \pi 2$, dokaži da je $$ \frac1{a^2}+\frac1{b^2}=\frac1{v^2}. $$ $b)$ Ako ova jednakost vrijedi za neki trokut, dokaži da za njegove kutove vrijedi $\alpha + \beta = \dfrac \pi 2$ ili $|\alpha - \beta| = \dfrac \pi 2$.

%V0 U trokutu $ABC$ simetrala kuta pri vrhu $B$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $K$. Ako je $|BC|=2$, $|CK|=1$ i $|BK|=\dfrac{3}{\sqrt{2}}$, odredi površinu trokuta $ABC$.

%V0 Točka $D$ je nožište visine iz vrha $A$, a točka $E$ nožište visine iz vrha $B$ trokuta $ABC$. Ako je $|AE|=5$, $|CE|=3$ i $|CD|=2$, odredi duljinu $|BD|$.

%V0 Pokaži da za svaki trokut s kutovima $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ te polumjerima $r$ i $R$ upisane i opisane kružnice redom, vrijedi jednakost $$ \dfrac{\ctg\dfrac{\alpha}{2}+\ctg\dfrac{\beta}{2}} {\ctg\dfrac{\gamma}{2}}=\dfrac{4R\sin^2\dfrac{\gamma}{2}}{r}. $$

%V0 Dokaži da suma kotangensa kutova trokuta ne može biti jednaka nuli.

%V0 U pravokutnom trokutu simetrala jednog šiljastog kuta dijeli nasuprotnu katetu na dijelove duljina $4$ i $5$. Kolika je površina tog trokuta?