Školjka

%V0 Neka su $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ članovi aritmetičkog i $b_1$, $b_2$, $\dots$, $b_n$ članovi geometrijskog niza s pozitivnim članovima. Ako je $a_1=b_1$ i $a_n=b_n$, dokažite da je suma članova aritmetičkog niza veća ili jednaka od sume članova geometrijskog niza.

%V0 Za broj $x \in (1, 2)$ definiran je niz $$a_{0} = 1, a_{n} = \frac{a_{n-1}}{\log _{x}2} + 1 ,\quad n \in \mathbb{N}. $$ Dokažite da je $a_{n} < \log _{\frac{2}{x}}2$ za svaki $n \in \mathbb{N}$.

%V0 Neka je $(x_n)_{n \in \mathbb{N} }$ niz realnih brojeva različitih od nule takav da vrijedi $$ {x_n}^2-x_{n+1}x_{n-1}=1,\qquad \forall n\geq 2. $$ Dokaži da izraz $\dfrac{x_{n+1}+x_{n-1}}{x_n}$ poprima istu vrijednost za svaki $n\geq 2$.

%V0 Zadan je niz realnih brojeva $a_n$ takav da je $a_{n+1}=\dfrac{n+1}{n}\,a_n + 1$ za svaki prirodan broj $n$ i $a_{2009}=2009$. Odredi zbroj $a_1+a_2+\ldots+a_{2008}$.

%V0 Tri različita realna broja, različita od nule, čine aritmetički niz, a njihovi kvadrati u istom poretku čine geometrijski niz. Odredi sve moguće vrijednosti kvocijenta tog geometrijskog niza.

%V0 Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $$ a_1=1, \quad a_2=3, \qquad a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \ \text{ za } \ n\geq 3. $$ Dokaži da vrijedi nejednakost $a_n<\left(\dfrac{7}{4}\right)^n$ za sve $n \in \mathbb{N}$.