Školjka

%V0 Na stranici $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ odabrana je bilo koja točka $D$, a na stranici $\overline{AB}$ točka $E$, tako da je $DE$ paralelno s $CA$. Neka su $P$, $P_1$ i $P_2$ redom površine trokuta $ABC$, $EBD$ i $ABD$, dokaži da je tada $P_2=\sqrt{PP_1}$.

%V0 U trokutu $ABC$ simetrala kuta pri vrhu $B$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $K$. Ako je $|BC|=2$, $|CK|=1$ i $|BK|=\dfrac{3}{\sqrt{2}}$, odredi površinu trokuta $ABC$.

%V0 Ako su $a$, $b$ i $c$ duljine stranica trokuta, takve da je $a+b=3c$, dokažite jednakost $$ \ctg \frac{\alpha }{2}\cdot \ctg \frac{\beta }{2}=2. $$

%V0 Ako točka $P$ opisuje elipsu čiji su fokusi $F_1$ i $F_2$, koju krivulju opisuje težište trokuta $F_1 F_2P$?

%V0 Kružnica je upisana u jednakostraničan trokut kojem je duljina stranice $6$. Pokaži da za svaku točku $T$ na toj kružnici vrijedi jednakost: $$ |TA|^2+|TB|^2+|TC|^2=45. $$

%V0 U pravokutnom trokutu težišnica i simetrala pravog kuta dijele hipotenuzu na tri dijela čije duljine, u nekom poretku, čine aritmetički niz. Odredi sve moguće omjere duljina kateta tog trokuta. [i]Tri broja čine aritmetički niz ako je suma najmanjeg i najvećeg jednaka dvostrukom srednjem broju.[/i]