Školjka

%V0 Riješite sustav jednadžbi $$$\begin{align*} |x+y-4|&=5\text{,} \\ |x-3|+|y-1|&=5\text{.} \end{align*}$$$

%V0 Odredite sva realna rješenja sustava jednadžbi: $$$\begin{align*} x_1 + x_2 + \ldots + x_{2004}&=2004\text{,} \\ x_1^4 + x_2^4 + \ldots + x_{2004}^4&=x_1^3+x_2^3+\ldots+x_{2004}^3\text{.} \end{align*}$$$

%V0 Odredi sve $x$, $y$ za koje vrijedi $$$\begin{align*} 7(\log_y x+ \log_x y) &= 50,\\ xy&=256. \end{align*}$$

%V0 Riješi sustav jednadžbi: $$$\begin{align*} \log _yx+\log _xy&={\frac{5}{2}}, \\ x+y&=12. \end{align*}$$$

%V0 Prvi član aritmetičkog niza $(a_n)$, kojem su svi članovi prirodni brojevi, je $a_1=1$. Broj $4=2^2$ jest, a $2$ nije član tog niza. $a)$ Dokažite da postoji jedan i samo jedan takav niz. Napišite njegov opći član. $b)$ Pokažite da je kvadrat svakog prirodnog broja, koji nije djeljiv s $3$, član tog niza. $c)$ Provjerite da su brojevi $ 2002 $ i $ 2002^2 $ članovi tog niza. Odredite njihove indekse. $d)$ Obrazložite zaključak: kvadrat svakog člana niza je član niza. Vrijedi li obrat, tj. ako je kvadrat nekog broja član tog niza, onda je i taj broj član niza.

%V0 Razlika recipročnih vrijednosti dvaju uzastopnih prirodnih brojeva je $0.0aaa\dots=0.0\dot{a}$. Koje vrijednosti može poprimiti znamenka $a$?