Školjka

%V0 U raznostraničnom šiljastokutnom trokutu $ABC$ povučene su težišnica $\overline{CT}$ i visina $\overline{CH}$ na stranicu $\overline{AB}$ (točke $T$ i $H$ leže na stranici $\overline{AB}$). Ako su kutovi $\angle ACT$ i $\angle HCB$ jednaki, dokažite da je trokut pravokutan.

%V0 Ako su $a$, $b$ i $c$ duljine stranica trokuta, takve da je $a+b=3c$, dokažite jednakost $$ \ctg \frac{\alpha }{2}\cdot \ctg \frac{\beta }{2}=2. $$

%V0 Na krakovima šiljastog kuta $\alpha $ s vrhom $A$ dane su točke $D$ i $E$, tako da je $|AD|=m$ i $|AE|=n$. U točkama $D$ i $E$ povučene su okomice na krakove kuta na kojima leže. Ako se te dvije okomice sijeku u točki $F$ u unutrašnjosti kuta, dokažite da je $$ \frac{|DF|}{|EF|}=\frac{n-m\cos \alpha }{m-n\cos \alpha }. $$

%V0 Ako su duljine stranica trokuta tri uzastopna člana aritmetičkog niza, dokaži da su tada kotangensi polovičnih kutova tog trokuta također uzastopni članovi nekog aritmetičkog niza.

%V0 Kružnica je upisana u jednakostraničan trokut kojem je duljina stranice $6$. Pokaži da za svaku točku $T$ na toj kružnici vrijedi jednakost: $$ |TA|^2+|TB|^2+|TC|^2=45. $$

%V0 U pravokutnom trokutu težišnica i simetrala pravog kuta dijele hipotenuzu na tri dijela čije duljine, u nekom poretku, čine aritmetički niz. Odredi sve moguće omjere duljina kateta tog trokuta. [i]Tri broja čine aritmetički niz ako je suma najmanjeg i najvećeg jednaka dvostrukom srednjem broju.[/i]