Školjka

%V0 Dokažite da za pozitivne, realne i različite brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi nejednakost $$a^ab^bc^c > a^bb^cc^a\text{.}$$

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $abc = 1$. Dokažite nejednakost $$a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b} \leq 1\text{.}$$

%V0 Dokažite da za pozitivne brojeve $a, b, c$ vrijedi nejednakost $$\frac{a^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{b^2}{(b+a)(b+c)} + \frac{c^2}{(c+a)(c+b)} \geq \frac{3}{4}.$$

%V0 Ako su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi veći od $1$, dokažite da za svaki realni broj $r$ vrijedi nejednakost $$(\log_{a}{bc})^r + (\log_{b}{ca})^r + (\log_{c}{ab})^r \geq 3\cdot2^r\text{.}$$

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Dokaži nejednakost $$\frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} \geqslant \frac{3}{2} \text{.}$$

%V0 Odredi najveću vrijednost realne konstante $\lambda$ takve da za sve pozitivne realne brojeve $u$, $v$, $w$ za koje je $u\sqrt{vw} + v\sqrt{wu} + w\sqrt{uv} \geqslant 1$ vrijedi nejednakost $u + v + w \geqslant \lambda$.