Školjka

%V0 Dokaži da svaki kompleksni broj $z$ za koji postoji točno jedan kompleksni broj $a$ takav da je $$ z^3 + \left(2-a\right)z^2 + \left(1-3a\right)z + a^2 - a = 0 $$ zadovoljava jednakost $z^3 = 1$.

%V0 Neka je $z$ kompleksan broj različit od nule, koji zadovoljava jednakost $z^8 = \overline{z}$. Koje vrijednosti može poprimiti broj $z^{2001}$?

%V0 Ako funkcija $f$ zadovoljava uvjete a) $f\!\left(1\right) = 1$ b) $f\!\left(x+y\right) = f\!\left(x\right) + f\!\left(y\right)$, $\forall x,\,y \in \mathbb{R}$ c) $\displaystyle f\!\left(\frac1x\right) = \frac{f\!\left(x\right)}{x^2}$, $\forall x \in \mathbb{R}$, $x \neq 0$ koliko je $f\!\left(\sqrt{1996}\right)$?

%V0 Riješite jednadžbu $$\frac32 \log_{\frac14}{\left(x+2\right)^2} - 3 = \log_{\frac14}{\left(4-x\right)^3} - \log_4{\left(x+6\right)^3} \text{.}$$

%V0 Neka je $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kvadratna funkcija $f\!\left(x\right) = ax^2+bx+c$. Označimo sa $D$ diskriminantu, sa $P$ umnožak, a sa $S$ zbroj njezinih nultočaka. Pokažite da postoji samo jedna funkcija $f$ za koju su $a$, $D$, $P$, $S$ četiri uzastopna cijela broja (u rastućem poretku).

%V0 Odredite sve kompleksne brojeve $z$ takve da vrijedi $$\left\vert z^2 + 1 \right\vert = 2 \left\vert z \right\vert \qquad \text{i} \qquad \left\vert z - 3i \right\vert = \sqrt{10} \text{.}$$