Školjka

%V0 Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $S$. Dokažite da je umnožak udaljenosti točke $S$ od stranica trokuta $ABC$ najveći kada je točka $S$ njegovo težište.

%V0 Kružnice $C_1$ i $C_2$ sijeku se u točkama $A$ i $B$. Tangenta kružnice $C_2$ povučena iz točke $A$ siječe kružnicu $C_1$ u točki $C$, a tangenta kružnice $C_1$ povučena iz točke $A$ siječe kružnicu $C_2$ u točki $D$. Polupravac kroz točku $A$, koji leži unutar kuta $\angle{CAD}$, siječe kružnicu $C_1$ u točki $M$, kružnicu $C_2$ u točki $N$ i kružnicu opisanu trokutu $ACD$ u točki $P$. Dokaži da je udaljenost točaka $A$ i $M$ jednaka udaljenosti točaka $N$ i $P$.

%V0 Kružnica sa središtem $O$ dira stranicu $\overline{BC}$ i produžetke stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ trokuta $ABC$ redom u točkama $K$, $P$ i $Q$. Dužine $\overline{OB}$ i $\overline{OC}$ sijeku spojnicu $\overline{PQ}$ redom u točkama $M$ i $N$. Dokažite da je $$\frac{|QN|}{|AB|} = \frac{|MN|}{|BC|} = \frac{|MP|}{|CA|} \text{.}$$

%V0 Nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ s vanjske strane konstruiraju se kvadrat $ACXE$ i $CBDY$. Dokažite da se pravci $AD$ i $BE$ sijeku na visini iz vrha $C$ trokuta $ABC$.

%V0 neka su $L$ i $M$ redom tocke u kojima simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta iz vrha $C$, trokuta $ABC$, sijeku pravac $AB$. ako je $|CL| = |CM|$, dokazite da je $|AC|^2 + |BC|^2 = 4R^2$, gdje je $R$ duljina polumjera kruznice opisane trokutu $ABC$

%V0 Neka je $\overline{OA}$ promjer i $\overline{OB}$ tetiva kružnice $k$ polumjera $R$, $C$ sjecište pravca $OB$ i tangente na $k$ u točki $A$, $T$ točka na dužini $\overline{OB}$ takva da je $\left\vert OT \right\vert = \left\vert BC \right\vert$ i $T^{\prime}$ projekcija od $T$ na $\overline{OA}$. Izrazite $y = \left\vert T^{\prime}T \right\vert $ kao funkciju od $x = \left\vert OT^{\prime} \right\vert$.