Školjka

%V0 Koliko ima djelitelja broja $30^{2003}$ koji nisu djelitelji broja $20^{2000}$?

%V0 Niz znamenaka $1$, $2$, $3$, $4$, $0$, $9$, $6$, $9$, $4$, $8$, $7$, ... konstruira se tako da je svaki broj, počevši od petog, jednak znamenki jedinica zbroja prethodne četiri znamenke. a) Da li se u tom nizu redom pojavljuju znamenke $2$, $0$, $0$, $4$, tim redom? b) Da li se u tom nizu ikad ponavljaju početne znamenke $1$, $2$, $3$, $4$, tim redom?

%V0 Neka je $N$ prirodan broj. Dano je $N$ trojki cijelih brojeva $r_j$, $s_j$, $t_j$, za $1 \leq j \leq N$, takvih da je barem jedan od njih neparan. Pokažite da postoje cijeli brojevi $a$, $b$, $c$ takvi da je $ar_j + bs_j + ct_j$ neparan, za barem $\dfrac{4N}{7}$ različitih indeksa $j$.

%V0 Koliko najmanje brojeva može imati skup $A$ prirodnih brojeva od kojih je najmanji jednak $1$, najveći $100$, i ima svojstvo da je svaki broj iz $A$, osim $1$, jednak zbroju dva (jednaka ili različita) broja iz $A$?

%V0 Dokažite da u svakom skupu od $11$ prirodnih brojeva postoji njih $6$, čiji je zbroj djeljiv sa $6$.

%V0 Dano je $99$ (ne nužno različitih) prirodnih brojeva manjih od $100$. Ako zbroj nikoja dva, tri ili više od tih brojeva nije djeljiv sa $100$, dokažite da su svi oni međusobno jednaki.