Slični zadaci

Državno natjecanje 2010 SŠ2 3

a) Dokaži da za međusobno različite prirodne brojeve $a$ i $b$ postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ takvih da su brojevi $a+n$ i $b+n$ relativno prosti.

b) Postoje li međusobno različiti prirodni brojevi $a$ , $b$ , $c$ i $d$ za koje ne postoji prirodni broj $n$ takav da su brojevi $a+n$ , $b+n$ , $c+n$ , $d+n$ u parovima relativno prosti?

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 1998 SŠ2 4

Neka su $m$ i $n$ prirodni brojevi, $a = (n+1)^m - n$ i $b = (n+1)^{m+3} - n$ .
$(a)$ Dokažite da su $a$ i $b$ relativno prosti ako $m$ nije djeljiv s $3$ .
$(b)$ Odredite sve brojeve $m$ i $n$ za koje $a$ i $b$ nisu relativno prosti.

Državno natjecanje 2004 SŠ2 3

Brojevi $(p_n)$ za $n \in \mathbb{N}$ definirani su na sljedeći način:
$p_1 = 2$ i za $n \geq 2$ , $p_n$ je najveći prosti djelitelj od $p_1p_2 \dots p_{n-1} + 1$ . Dokažite da je $p_n \not= 5$ za svaki $n \in \mathbb{N}$ .

Državno natjecanje 2007 SŠ2 3

Nađite sve prirodne brojeve koji su najveća zajednička mjera brojeva oblika $5n + 6$ i $8n + 7$ za neko $n \in \mathbb{N}$ .

Državno natjecanje 2008 SŠ2 3

Odredi sve cijele brojeve $x$ takve da je $1 + 5 \cdot 2^x$ kvadrat racionalnog broja.

Državno natjecanje 2009 SŠ2 1

Neka su $a$ i $b$ cijeli brojevi takvi da je $a^{2} + 2b$ kvadrat cijelog broja. Dokaži da se broj $a^{2} + b$ može prikazati kao zbroj kvadrata dvaju cijelih brojeva.

Državno natjecanje 2011 SŠ2 1

Odredi sve parove $\left(m,\,n\right)$ prirodnih brojeva takve da $n$ dijeli $2m-1$ i $m$ dijeli $2n-1$ .