Slični zadaci

Državno natjecanje 1994 SŠ1 2

Neka su $a$ i $c$ duljine osnovica trapeza. Dokažite:

a) Duljina dužine paralelne s osnovicama, koja raspolavlja površinu trapeza, jednaka je $\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}}$ (kvadratna sredina).

b) Duljina spojnice polovišta krakova jednaka je $\frac{a+c}{2}$ (aritmetička sredina).

c) Duljina dužine paralelne osnovicama, koja dijeli trapez na dva međusobno slična trapeza, jednaka je $\sqrt{ac}$ (geometrijska sredina).

d) Duljina dužine paralelne s osnovicama kroz sjecište dijagonala, kojoj su krajevi na krakovima, jednaka je $\frac{2}{\frac1a + \frac1c}$ (harmonijska sredina).

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 2002 SŠ1 1

Duljina srednjice trapeza je $4$ , a kutovi uz jednu osnovicu su $40^\circ$ i $50^\circ$ . Odredite duljine osnovica ako je udaljenost njihovih polovišta jednaka $1$ .

Državno natjecanje 2004 SŠ1 2

Dokažite da su težišnice iz vrhova $A$ i $B$ trokuta $ABC$ međusobno okomite ako i samo ako za duljine stranica vrijedi jednakost $\left\vert BC \right\vert^2 + \left\vert AC \right\vert^2 = 5 \left\vert AB \right\vert^2 \text{.}$

Državno natjecanje 2005 SŠ1 2

Spojnice središta trokutu upisane kružnice i njegovih vrhova dijele ga na tri trokuta od kojih je jedan sličan polaznome. Odredite kutove polaznog trokuta.

Državno natjecanje 2005 SŠ1 4

Duljine stranica trokuta su $a$ , $b$ i $c$ , a $R$ je duljina polumjera opisane mu kružnice. Odredite kutove trokuta ako vrijedi $R = \displaystyle \frac{a\sqrt{bc}}{b+c}$ .

Državno natjecanje 2006 SŠ1 3

Iz jednog vrha šiljastokutnog trokuta povučena je visina, iz drugog težišnica, a iz trećeg simetrala kuta. Ta tri pravca ne prolaze istom točkom, već njihove točke presjeka čine vrhove novog trokuta. Dokaži da novi trokut ne može biti jednakostraničan.

Državno natjecanje 2007 SŠ1 2

Na polupravcima $p$ i $q$ sa zajedničkim početkom $O$ dane su točke $A$ i $C$ (na $p$ ) te $B$ i $D$ (na $q$ ). Ako je pravac $CD$ paralelan s težišnicom trokuta $OAB$ , dokažite da je pravac $AB$ paralelan s težišnicom trokuta $OCD$ .