Školjka

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni relani brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokažite da vrijedi nejednakost $$\dfrac{a^3}{a^2 + b^2} + \dfrac{b^3}{b^2 + c^2} + \dfrac{c^3}{c^2 + a^2} \geq \dfrac{1}{2}\text{.}$$

%V0 Dokažite da za svaki $x \in \mathbb{R}$ vrijedi nejednakost $$\sin^5 x + \cos^5 x + \sin^4 x \leq 2.$$ Kada vrijedi jednakost?

%V0 Neka su $x_1, x_2, . . . , x_{n-1}, x_n$ pozitivni realni brojevi takvi da je $\sum_{i=1}^{n}x_i = 1$. Dokaži nejednakost $$\frac{x_1^2}{x_1+x_2} + \frac{x_2^2}{x_2+x_3} + \cdots + \frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1}+x_n} + \frac{x_n^2}{x_n+x_1} \geq \frac{1}{2}.$$

%V0 Neka je $n \in \mathbb{N}$ te $a_{1}$, $a_{2}$, ..., $a_{n}$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $$ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}^{2}} \text{.} $$ Dokaži da za svaki $m \in \left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$ postoji $m$ brojeva iz skupa $\left\{a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n}\right\}$ čiji je zbroj barem $m$.

%V0 Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ takve da za proizvoljne pozitivne realne brojeve $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ vrijedi nejednakost: $$ \left(x_1+x_2+\cdots + x_i + \cdots + x_n\right)^2 \geqslant n\left(x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_ix_{i+1}+ \cdots + x_nx_1\right) \text{.} $$

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ različiti prirodni brojevi i $k$ prirodan broj takav da vrijedi $$ \displaystyle ab + bc + ca \geqslant 3 k^2 -1 \text{.} $$ Dokaži da je $\displaystyle \frac13\left({a^3 + b^3 + c^3}\right) \geqslant abc + 3k$.