Školjka

%V0 Volumen kocke $ABCDA_1B_1C_1D_1$ jednak je $V$. Nađite volumen zajedničkog dijela tetraedara $AB_1CD_1$ i $A_1BC_1D$.

%V0 Pravilna četverostrana piramida presječena je ravninom koja prolazi jednim vrhom baze i okomita je na nasuprotni pobočni brid. Površina presjeka dvaput je manja od površine baze. Odredite prikloni kut pobočnog brida i baze.

%V0 Neka su u tetraedru $ABCD$ površina strana $ABD$, $ACD$, $BCD$ i $BCA$ redom jednake $S_1$, $S_2$, $Q_1$, $Q_2$, a prostorni kut između strana $ABD$ i $ACD$ jednak $\alpha$, odnosno $\beta$ između $BCD$ i $BCA$. Dokažite da je $$S_1^2 + S_2^2 - 2S_1S_2\cos \alpha = Q_1^2 + Q_2^2 - 2Q_1Q_2\cos \beta \text{.}$$

%V0 Dane su točke $B$ i $C$, dok je $A$ varijabilna, takva da je $\angle BAC$ fiksan. Polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ su točke $D$ i $E$ redom. Točke $F$ i $G$ su takve da je $DF \perp AB$ i $EG \perp AC$, a $BF$ i $CG$ su okomite na $BC$. Dokažite da umnožak $|BF| \cdot |CG|$ ne ovisi o položaju točke $A$.

%V0 Kvadar je presječen ravninom tako da je presjek pravilni šesterokut. Dokažite da je to moguće samo ako je kvadar kocka.

%V0 Na dijagonalama $\overline{AB_1}$ i $\overline{CA_1}$ bočnih strana $ABB_1A_1$ i $CAA_1C_1$ trostrane prizme $ABCA_1B_1C_1$ dane su točke $E$ i $F$ takve da je $EF || BC_1$. Nađite omjer duljina dužina $\overline{EF}$ i $\overline{BC_1}$.