Školjka

%V0 Neka je $S = \{k \in \mathbb{N} : a \in \mathbb{N}, a^2|k \Rightarrow a = 1 \}$ i $n \in \mathbb{N}$. Dokažite da je $$\sum_{k \in S} \left\lfloor \sqrt{\frac{n}{k}} \right\rfloor = n.$$ ( $\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

%V0 Bocni brid pravilne trostrane piramide je $b = 1$, a njezin obujam je $V =\frac{1}{6}$ .Koliki je kut pri vrhu bocne strane?

%V0 Dokažite jednakost $$\left\lfloor \dfrac{n(n+1)}{4n - 2} \right\rfloor = \left\lfloor \dfrac{n + 1}{4} \right\rfloor$$ za svaki prirodan broj $n > 2$

%V0 Dane su točke $B$ i $C$, dok je $A$ varijabilna, takva da je $\angle BAC$ fiksan. Polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ su točke $D$ i $E$ redom. Točke $F$ i $G$ su takve da je $DF \perp AB$ i $EG \perp AC$, a $BF$ i $CG$ su okomite na $BC$. Dokažite da umnožak $|BF| \cdot |CG|$ ne ovisi o položaju točke $A$.

%V0 Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi takvi da je $\frac1\alpha + \frac1\beta = 1$, te $A=\{\lfloor n\alpha \rfloor | n \in \mathbb{N}\}$ i $B=\{\lfloor n\beta \rfloor | n \in \mathbb{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbb{N}$ i $A \cap B = \emptyset$. Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ definiranu sa $$\pi(m)=\mathrm{Card} \{k | k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in A\} + \mathrm{Card} \{k | k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m)=n, \,\, \forall m \in \mathbb{N}$. ( $\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

%V0 Neka su $j$ i $k$ prirodni brojevi. Dokažite da nejednakost $$\lfloor (j + k)\alpha \rfloor + \lfloor (j + k)\beta \rfloor \geq \lfloor j\alpha \rfloor + \lfloor j\beta \rfloor + \lfloor k(\alpha + \beta) \rfloor$$ vrijedi za sve realne brojeve $\alpha$ i $\beta$ ako i samo ako je $j = k$. ( $\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)