Školjka

%V0 For each finite set $U$ of nonzero vectors in the plane we define $l(U)$ to be the length of the vector that is the sum of all vectors in $U.$ Given a finite set $V$ of nonzero vectors in the plane, a subset $B$ of $V$ is said to be maximal if $l(B)$ is greater than or equal to $l(A)$ for each nonempty subset $A$ of $V.$ (a) Construct sets of 4 and 5 vectors that have 8 and 10 maximal subsets respectively. (b) Show that, for any set $V$ consisting of $n \geq 1$ vectors the number of maximal subsets is less than or equal to $2n.$

%V0 Kiki zamisli dvoznamenkasti broj, a Veki ga pokušava pogoditi. Ako Veki pogodi točan broj ili broj kojemu je jedna znamenka točna a druga se od točne razlikuje za 1 Kiki mu kaže "Toplo!", inače kaže "Hladno!". (npr. ako Kiki zamisli $65$, za pogađane brojeve $64, 65, 66, 55, 75$ reći će "Toplo!", a za ostale "Hladno!") $\text{(i)}$ Dokaži da ne postoji strategija u kojoj Veki sigurno određuje Kikijev broj u ne više od $18$ pokušaja. $\text{(ii)}$ Pronađite strategiju kojom Veki sigurno određuje Kikijev broj u ne više od $24$ pokušaja.

%V0 On a blackboard there are $n \geq 2, n \in \mathbb{Z}^{+}$ numbers. In each step we select two numbers from the blackboard and replace both of them by their sum. Determine all numbers $n$ for which it is possible to yield $n$ identical number after a finite number of steps.

%V0 Roko se šeće po ploči $4 \times 2012$ ($4$ retka, $2012$ stupaca), koja je obojana šahovski (polje lijevo gore je crno). Na početku se nalazi na crnom polju u prvom retku i prvom stupcu. U svakom koraku pomakne se prema desno, i to na neko crno polje koje ima jedan vrh zajednički sa poljem na kojem se trenutno nalazi. Na koliko načina se Roko može prošetati pločom i završiti na polju u zadnjem retku i zadnjem stupcu?

%V0 U krugu piše 5 jedinica i 4 nule, nekim redom. Između svake dvije znamenke napišeš 0 ako su iste i 1 ako su različite, a zatim izbrišes sve stare znamenke. Taj postupak ponavljaš beskonačno puta. Hoćeš li ikad doći u poziciju da su sve nule?

%V0 Tri hrpe se sastoje od $7$, $9$ i $11$ novčića. Smiješ uzeti po jedan s dvije različite hrpe i staviti jedan na treću. Može li na kraju ostati samo jedan novčić?