Školjka

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni relani brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokažite da vrijedi nejednakost $$\dfrac{a^3}{a^2 + b^2} + \dfrac{b^3}{b^2 + c^2} + \dfrac{c^3}{c^2 + a^2} \geq \dfrac{1}{2}\text{.}$$

%V0 Dokažite da za svaki realan broj $x$ i svaki prirodan broj $n$ vrijedi nejednakost $$|\cos x| + |\cos 2x| + |\cos 2^2x| + \dots + |\cos 2^nx| \geq \frac{n}{2\sqrt{2}} \text{.}$$

%V0 Nađite sva rješenja $k, l, m \in \mathbb{N}$ jednadžbe: $$k!l! = k! + l! + m!\text{.}$$ ($n!$ označava umnožak prirodnih brojeva od $1$ do $n$.)

%V0 Neka je $n \in \mathbb{N}$ te $a_{1}$, $a_{2}$, ..., $a_{n}$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $$ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}^{2}} \text{.} $$ Dokaži da za svaki $m \in \left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$ postoji $m$ brojeva iz skupa $\left\{a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n}\right\}$ čiji je zbroj barem $m$.

%V0 Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ takve da za proizvoljne pozitivne realne brojeve $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ vrijedi nejednakost: $$ \left(x_1+x_2+\cdots + x_i + \cdots + x_n\right)^2 \geqslant n\left(x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_ix_{i+1}+ \cdots + x_nx_1\right) \text{.} $$

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a+b+c=abc$. Dokaži da vrijedi $$ a^5\left(bc-1\right)+b^5\left(ca-1\right)+c^5\left(ab-1\right)\ge 54\sqrt{3}. $$