Kamp '13 - Geometrija 15.
Dodao/la:
arhiva3. studenoga 2013. Neka je
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
šiljostokutan trokut s ortocentrom
![H](/media/m/4/c/0/4c0872a89da410a25f00b86366efece7.png)
i neka je
![W](/media/m/2/c/4/2c4aa0f61279d74f16a59bcde17578ef.png)
točka na
![BC](/media/m/5/0/0/5005d4d5eac1b420fbabb76c83fc63ad.png)
između
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
i
![C](/media/m/5/a/b/5ab88f3f735b691e133767fe7ea0483c.png)
. Točke
![M](/media/m/f/7/f/f7f312cf6ba459a332de8db3b8f906c4.png)
i
![N](/media/m/f/1/9/f19700f291b1f2255b011c11d686a4cd.png)
su nožišta visina redom iz
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
i
![C](/media/m/5/a/b/5ab88f3f735b691e133767fe7ea0483c.png)
.
![k_1](/media/m/3/5/6/35656cbf3adb55dddd30996fc068363b.png)
je opisana kružnica
![BWN](/media/m/2/0/4/204706f15f515e64554d56b3501756bf.png)
, a
![X](/media/m/9/2/8/92802f174fc4967315c2d8002c426164.png)
točka takva da je
![WX](/media/m/9/2/5/9256720c60981e6557a0f0a854c607b7.png)
dijametar od
![k_1](/media/m/3/5/6/35656cbf3adb55dddd30996fc068363b.png)
. Slično,
![k_2](/media/m/6/a/b/6abbe24dbf6713b55498fe55ab050d06.png)
je opisana kružnica
![CWM](/media/m/b/0/c/b0c29c626056c8b8055d0d1f5f3b6f26.png)
, a
![Y](/media/m/3/b/c/3bc24c5af9ce86a9a691643555fc3fd6.png)
je točka takva da je
![WY](/media/m/6/d/c/6dca86f9e4c5665332a340f493cf15bd.png)
dijametar
![k_2](/media/m/6/a/b/6abbe24dbf6713b55498fe55ab050d06.png)
. Dokažite da su
![X](/media/m/9/2/8/92802f174fc4967315c2d8002c426164.png)
,
![Y](/media/m/3/b/c/3bc24c5af9ce86a9a691643555fc3fd6.png)
,
![H](/media/m/4/c/0/4c0872a89da410a25f00b86366efece7.png)
kolinearne.
%V0
Neka je $ABC$ šiljostokutan trokut s ortocentrom $H$ i neka je $W$ točka na $BC$ između $B$ i $C$. Točke $M$ i $N$ su nožišta visina redom iz $B$ i $C$. $k_1$ je opisana kružnica $BWN$, a $X$ točka takva da je $WX$ dijametar od $k_1$. Slično, $k_2$ je opisana kružnica $CWM$, a $Y$ je točka takva da je $WY$ dijametar $k_2$. Dokažite da su $X$, $Y$, $H$ kolinearne.
Izvor: Kamp 2013. - Geometrija, M. M.