Školjka

%V0 Unutar kvadrata stranice duljine $38$ smješteno je $100$ konveksnih mnogokuta, pri čemu je površina svakog od njih najviše $\pi$, a opseg najviše $2\pi$. Dokaži da unutar tog kvadrata postoji krug polumjera $1$ koji ne siječe niti jedan od danih $100$ mnogokuta.

%V0 Nad stranicama $\overline{AB}, \overline{BC}$ trokuta $ABC$ konstruirani su kvadrati $ABKL, BCMN$ (koji s trokutom imaju samo zajednicku stranicu). a) Ako je $D$ tocka takva da je $ABCD$ paralelogram, dokazi da su trokuti $ABD$ i $BKN$ sukladni. b) Dokazi da su polovista duzina $\overline{AC}, \overline{KN}$ i sredista kvadrata $ABKL, BCMN$ vrhovi kvadrata.

%V0 neka je $ABCD$ konveksni cetverokut i neka su $P$ i $Q$ redom tocke na njegovim stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ takve da je $\angle BAP = \angle DAQ$. dokazite da trokuti $ABP$ i $ADQ$ imaju jednake povrsine ako i samo ako je spojnica njihovih ortocentara okomita na pravac $AC$.

%V0 unutar troukta $ABC$ s duljinama stranica $a, b, c$ i odgovarajucim kutevima $\alpha, \beta, \gamma$ postoje tocke $P$ i $Q$ takve da vrijedi $\angle BPC = \angle CPA = \angle APB = 120^\circ$, $\angle BQC = 60^\circ + \alpha, \angle CQA = 60^\circ + \beta, \angle AQB = 60^\circ + \gamma$. dokazite da vrijedi jednakost $(|AP| + |BP| + |CP|)^3\cdot|AQ|\cdot|BQ|\cdot|CQ| = (abc)^2$

%V0 Sve točke ravnine su na bilo koji način podijeljene na dva disjunktna skupa. Dokažite da postoji trokut čiji vrhovi pripadaju istom skupu, najmanja stranica mu ima duljinu $1$ i kutovi mu se odnose kao $1:2:3$.

%V0 U ravnini je dano pet točaka $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $P_5$ sa cjelobrojnim koordinatama. Pokažite da postoji bar jedan par $(P_i,\,P_j)$ za $i \neq j$ tako da pravac $P_iP_j$ sadrži neku točku $Q$ sa cjelobrojnim koordinatama koja leži između $P_i$ i $P_j$.