Školjka

%V0 Zadan je niz $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=4$, $x_{n+3}=x_{n+2}+x_{n+1}+x_n$, za svako $n \in \mathbb{N}$. Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza.

%V0 Odredi sve parove prirodnih brojeva $\left(m,\,n\right)$, $m,\,n > 1$, za koje je $n^{3} - 1$ djeljivo s $mn - 1$.

%V0 a) Neka je $k$ prirodni broj. Dokaži da aritmetički niz čija je razlika prirodni broj ili ne sadrži niti jednu $k$-tu potenciju prirodnog broja ili ih sadrži beskonačno mnogo. b) Postoji li aritmetički niz čija je razlika prirodni broj koji sadrži beskonačno mnogo kubova prirodnih brojeva, ali ne sadrži niti jedan kvadrat prirodnog broja?

%V0 Odredi sve funkcije $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ za koje vrijede sljedeća dva uvjeta: i) $f\!\left(n\right) f\!\left(-n\right) = f\!\left(n^2\right)$ za sve $n \in \mathbb{Z}$ ii) $f\!\left(m+n\right) = f\!\left(m\right) + f\!\left(n\right) + 2mn$ za sve $m,\,n \in \mathbb{Z}$.

%V0 Za dani prirodni broj $n$ neka je $M\!\left(n\right)$ najveći prirodni broj za koji je moguće konstruirati niz prirodnih brojeva $x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_{M\!\left(n\right)} \in \left\{ 2,\,3,\,\ldots,\,n\right\}$ tako da vrijedi: [i]Za svaka dva različita broja[/i] $i,\,j \in \left\{1,\,2,\,\ldots,\,M\!\left(n\right) \right\}$ [i]brojevi[/i] $2^{x_i}-1$ i $2^{x_j}-1$ [i]su relativno prosti.[/i] Ako je $M\!\left(k\right) = M\!\left(k-1\right)$ za neki prirodni broj $k>1$, dokaži da je $k$ složen.

%V0 Na koliko načina se broj $\displaystyle \frac{2011}{2010}$ može prikazati kao umnožak dvaju razlomaka oblika $\displaystyle \frac{n+1}{n}$, gdje je $n$ prirodan broj? Poredak faktora nije bitan.