Europski matematički kup 2012. seniori 2
Dodao/la:
arhiva23. prosinca 2013. Zadan je šiljastokutan trokut
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
i njegov ortocentar
![H](/media/m/4/c/0/4c0872a89da410a25f00b86366efece7.png)
. Dužine
![\overline{AH}](/media/m/6/3/a/63a733a761f06aef1ebd9aab9157aabc.png)
i
![\overline{CH}](/media/m/b/3/e/b3eb5c4740060509a3dc76cba2914adf.png)
sijeku dužine
![\overline{BC}](/media/m/8/8/1/8818caad7d36e134c54122cbf46f1cd9.png)
i
![\overline{AB}](/media/m/a/1/a/a1a42310b1a849922197735f632d57ec.png)
u točkama
![A_1](/media/m/5/a/6/5a6ce1347567551c02239ff8d4ebee67.png)
i
![C_1](/media/m/b/0/b/b0b10dc32c3e01824e0f0b6753ac2537.png)
redom. Neka je
![D](/media/m/7/0/0/7006c4b57335ab717f8f20960577a9ef.png)
sjecište dužina
![\overline{BH}](/media/m/a/0/a/a0a08d5cdcd9a19121ed4901ee25a875.png)
i
![\overline{A_1C_1}](/media/m/6/e/a/6ea9d25b68ce24a6ea97883724295f74.png)
, a
![P](/media/m/9/6/8/968d210d037e7e95372de185e8fb8759.png)
polovište dužine
![\overline{BH}](/media/m/a/0/a/a0a08d5cdcd9a19121ed4901ee25a875.png)
. Neka je točka
![D'](/media/m/9/b/9/9b9c3ea24194f348fa7e773530753933.png)
osnosimetrična slika točke
![D](/media/m/7/0/0/7006c4b57335ab717f8f20960577a9ef.png)
u odnosu na pravac
![AC](/media/m/6/4/7/647ef3a5d68f07d59d84afe03a9dc655.png)
. Dokaži da je četverokut
![APCD'](/media/m/5/6/3/5633a3241940af536f9aa4b71e239493.png)
tetivan.
%V0
Zadan je šiljastokutan trokut $ABC$ i njegov ortocentar $H$. Dužine $\overline{AH}$ i $\overline{CH}$ sijeku dužine $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ u točkama $A_1$ i $C_1$ redom. Neka je $D$ sjecište dužina $\overline{BH}$ i $\overline{A_1C_1}$, a $P$ polovište dužine $\overline{BH}$. Neka je točka $D'$ osnosimetrična slika točke $D$ u odnosu na pravac $AC$. Dokaži da je četverokut $APCD'$ tetivan.
Izvor: Europski matematički kup 2012. (Matko Ljulj)