Europski matematički kup 2013. juniori 4
Dodao/la:
arhiva23. prosinca 2013. Neka su
![a,b,c](/media/m/3/6/4/36454fdb50fc50f021324b33a6b513e3.png)
pozitivni realni brojevi takvi da je
![\frac{a}{1+b+c} + \frac{b}{1+c+a} + \frac{c}{1+a+b} \geqslant \frac{ab}{1+a+b} + \frac{bc}{1+b+c} + \frac{ca}{1+c+a} \text{.}](/media/m/b/4/7/b471823fcf35eb4e654d8a9f59a702c2.png)
Dokaži da tada vrijedi
%V0
Neka su $a,b,c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $$
\frac{a}{1+b+c} + \frac{b}{1+c+a} + \frac{c}{1+a+b} \geqslant \frac{ab}{1+a+b} + \frac{bc}{1+b+c} + \frac{ca}{1+c+a} \text{.}
$$
Dokaži da tada vrijedi $$
\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+a+b+c+2 \geqslant 2 (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) \text{.}
$$
Izvor: Europski matematički kup 2013. (Dimitar Trenevski)