Europski matematički kup 2013. seniori 4
Dodao/la:
arhiva23. prosinca 2013. Dan je trokut
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
. Neka su
![D,E,F](/media/m/d/9/2/d9289350ce6acc48fa92a975875bc973.png)
nožišta visina iz
![A,B,C](/media/m/6/0/1/6012c28979f41c54e9b40b9fc855aa34.png)
redom. Neka su
![X,Y,Z](/media/m/7/9/c/79c32eeaaac576ea9200a5efaa993302.png)
polovišta visina
![\overline{AD}](/media/m/3/0/3/303be34ac7d7fd6c29748e4abc4ee400.png)
,
![\overline{BE}](/media/m/f/a/f/faf3125128b9482123cc73217eded7be.png)
,
![\overline{CF}](/media/m/f/d/5/fd5b9f8c8ea0edd0f76fe14c8052a5c1.png)
redom. Dokaži da se okomica iz
![D](/media/m/7/0/0/7006c4b57335ab717f8f20960577a9ef.png)
na pravac
![YZ](/media/m/2/f/8/2f8993568fc5a7d94fb5d2bbab71b2a3.png)
, okomica iz
![E](/media/m/8/b/0/8b01e755d2253cb9a52f9e451d89ec11.png)
na pravac
![XZ](/media/m/b/9/9/b9921f6a98799ec30173c8bcd1bd85d6.png)
te okomica iz
![F](/media/m/3/e/8/3e8bad5df716d332365fca76f53c1743.png)
na pravac
![XY](/media/m/1/c/e/1ce2b6bc5783d5ee7b3276a845f41d6e.png)
sijeku u jednoj točki.
%V0
Dan je trokut $ABC$. Neka su $D,E,F$ nožišta visina iz $A,B,C$ redom. Neka su $X,Y,Z$ polovišta visina $\overline{AD}$, $\overline{BE}$, $\overline{CF}$ redom. Dokaži da se okomica iz $D$ na pravac $YZ$, okomica iz $E$ na pravac $XZ$ te okomica iz $F$ na pravac $XY$ sijeku u jednoj točki.
Izvor: Europski matematički kup 2013. (Matija Bucić)