Školjka

%V0 Odredi sve funkcije $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ za koje vrijede sljedeća dva uvjeta: i) $f\!\left(n\right) f\!\left(-n\right) = f\!\left(n^2\right)$ za sve $n \in \mathbb{Z}$ ii) $f\!\left(m+n\right) = f\!\left(m\right) + f\!\left(n\right) + 2mn$ za sve $m,\,n \in \mathbb{Z}$.

%V0 Dan je broj $n = p_1 p_2 p_3 p_4$, gdje su $p_1$, $p_2$, $p_3$ i $p_4$ četiri različita prosta broja. Njegovi pozitivni cjelobrojni djelitelji su $$d_1 = 1 < d_2 < d_3 < \ldots < d_{15} < d_{16} = n.$$ Postoji li $n < 2001$, takav da je $d_9 - d_8 = 22$?

%V0 Dana je funkcija $f$ definirana na pozitivnim cijelim brojevima, koja ima ova svojstva $$f(1)=1,\,\,\,\, f(2)=2\text{.}$$ $$f(n+2)=f(n+2-f(n+1))+f(n+1-f(n)), \,\,\,\, (n \geq 1)\text{.}$$ $(a)$ Pokažite da je $f(n+1)-f(n) \in \{0,\,1\}$ za svaki $n \geq 1$. $(b)$ Ako je $f(n)$ neparan, pokažite da je $f(n+1)=f(n)+1$. $(c)$ Za dani broj $k$ odredite sve vrijednosti $n$ za koje je $$f(n)=2^{k-1}+1\text{.}$$

%V0 Neka je $n$ prirodan broj koji se može prikazivati kao suma kvadrata dvaju prirodnih brojeva na dva različita načina: $$n=a^2+b^2=c^2+d^2, \,\,\, a \neq c, \,\, b \neq d.$$ Dokažite da je $n$ složen broj.

%V0 Nazovimo prirodan broj $n$ "sretan" ako mu je zbroj svih znamenaka višekratnik od $7$, i "supersretan" ako je "sretan" i niti jedan od brojeva $$n + 1 \text{, } n + 2 \text{, } \ldots \text{, } n + 12$$ nije "sretan". Koji je najmanji "supersretan" prirodan broj?

%V0 Za koje cijele brojeve $x$ je $2x^2 - x - 36$ kvadrat prostog broja?