Slični zadaci

Državno natjecanje 2004 SŠ4 2

unutar troukta $ABC$ s duljinama stranica $a, b, c$ i odgovarajucim kutevima $\alpha, \beta, \gamma$ postoje tocke $P$ i $Q$ takve da vrijedi
$\angle BPC = \angle CPA = \angle APB = 120^\circ$ ,
$\angle BQC = 60^\circ + \alpha, \angle CQA = 60^\circ + \beta, \angle AQB = 60^\circ + \gamma$ .
dokazite da vrijedi jednakost
$(|AP| + |BP| + |CP|)^3\cdot|AQ|\cdot|BQ|\cdot|CQ| = (abc)^2$

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 2010 SŠ4 4

Konveksni četverokut podijeljen je dijagonalama na četiri trokuta čije su upisane kružnice sukladne. Dokaži da je taj četverokut romb.

Državno natjecanje 2009 SŠ4 5

Unutar kvadrata stranice duljine $38$ smješteno je $100$ konveksnih mnogokuta, pri čemu je površina svakog od njih najviše $\pi$ , a opseg najviše $2\pi$ . Dokaži da unutar tog kvadrata postoji krug polumjera $1$ koji ne siječe niti jedan od danih $100$ mnogokuta.

Državno natjecanje 2009 SŠ4 1

Neka je $\overline{CH}$ visina šiljastokutnog trokuta $ABC$ , a točka $O$ središte njemu opisane kružnice. Ako je $T$ nožište okomice iz točke $C$ na pravac $AO$ , dokaži da pravac $TH$ prolazi polovištem dužine $\overline{BC}$ .

Državno natjecanje 2008 SŠ4 3

Nad stranicama $\overline{AB}, \overline{BC}$ trokuta $ABC$ konstruirani su kvadrati $ABKL, BCMN$ (koji s trokutom imaju samo zajednicku stranicu).
a) Ako je $D$ tocka takva da je $ABCD$ paralelogram, dokazi da su trokuti $ABD$ i $BKN$ sukladni.
b) Dokazi da su polovista duzina $\overline{AC}, \overline{KN}$ i sredista kvadrata $ABKL, BCMN$ vrhovi kvadrata.

Državno natjecanje 2005 SŠ4 4

neka je $ABCD$ konveksni cetverokut i neka su $P$ i $Q$ redom tocke na njegovim stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ takve da je $\angle BAP = \angle DAQ$ . dokazite da trokuti $ABP$ i $ADQ$ imaju jednake povrsine ako i samo ako je spojnica njihovih ortocentara okomita na pravac $AC$ .

Državno natjecanje 1995 SŠ4 1

Zadan je trokut $A_0B_0C_0$ s kutovima $\alpha = 40^\circ$ , $\beta = 60^\circ$ , $\gamma = 80^\circ$ . Neka su $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ nožišta visina tog trouta. Na isti način se polazeći od trokuta $A_1B_1C_1$ konstruira trokut $A_2B_2C_2$ , zatim redom trokuti $A_3B_3C_3,\ldots$ Dokažite da je trokut $A_{1995}B_{1995}C_{1995}$ sličan trokutu $A_0B_0C_0$ .