Školjka

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni relani brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokažite da vrijedi nejednakost $$\dfrac{a^3}{a^2 + b^2} + \dfrac{b^3}{b^2 + c^2} + \dfrac{c^3}{c^2 + a^2} \geq \dfrac{1}{2}\text{.}$$

%V0 Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ takve da za proizvoljne pozitivne realne brojeve $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ vrijedi nejednakost: $$ \left(x_1+x_2+\cdots + x_i + \cdots + x_n\right)^2 \geqslant n\left(x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_ix_{i+1}+ \cdots + x_nx_1\right) \text{.} $$

%V0 Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $a_0 = 3$ $a_n$ $= 2 + a_0 \cdot a_1 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}, n\geq 1$. a) Dokažite da su svi članovi tog niza u parovima relativno prosti prirodni brojevi. b) Odredite $a_{2007}$.

%V0 Zadana je tablica $5 \times n$ kojoj je svako polje obojano u crvenu ili plavu boju. Nađite najmanji $n$ za koji se uvijek mogu odabrati tri retka i tri stupca takva da je svih $9$ polja u njihovom presjeku iste boje.

%V0 Šiljastokutni trokut $ABC$ kome su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu sa središtem u točki $O$ polumjera $1$. Dokažite da je $$\frac{1}{|OA_1|}+\frac{1}{|OB_1|}+\frac{1}{|OC_1|} \geq 6$$

%V0 Odredi formulu za zbroj $$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,} $$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.