Školjka

%V0 neka je $ABCD$ konveksni cetverokut i neka su $P$ i $Q$ redom tocke na njegovim stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ takve da je $\angle BAP = \angle DAQ$. dokazite da trokuti $ABP$ i $ADQ$ imaju jednake povrsine ako i samo ako je spojnica njihovih ortocentara okomita na pravac $AC$.

%V0 Dokaži da za po volji odabrane prirodne brojeve $m$ i $n$ vrijedi nejednakost $$\frac{1}{\sqrt[n]{m}} + \frac{1}{\sqrt[m]{n}} > 1.$$

%V0 Nad stranicama $\overline{AB}, \overline{BC}$ trokuta $ABC$ konstruirani su kvadrati $ABKL, BCMN$ (koji s trokutom imaju samo zajednicku stranicu). a) Ako je $D$ tocka takva da je $ABCD$ paralelogram, dokazi da su trokuti $ABD$ i $BKN$ sukladni. b) Dokazi da su polovista duzina $\overline{AC}, \overline{KN}$ i sredista kvadrata $ABKL, BCMN$ vrhovi kvadrata.

%V0 U prostoru je dano sest razlicitih tocaka, $O, T_1, T_2, T_3, T_4, T_5.$ Dokazi da postoje indeksi $i, j, 1 \leq i < j \leq 5$ takvi da je $\angle T_iOT_j \leq 90^\circ.$

%V0 Dan je $n \times p$ pravokutnik podijeljen na $np$ jedinicnih kvadratica. Na pocetku je $m$ kvadratica crnih, a svi ostali su bijeli. Dozvoljena je sljedeca operacija: bijeli kvadratic koji ima zajednicki brid s barem dva crna kvadratica, moze postati crni. Nadi najmanji moguci $m$ takav da postoji polazna pozicija iz koje, primjenom ovih operacija, mogu svi kvadratici postati crni.

%V0 Neka je $\overline{CH}$ visina šiljastokutnog trokuta $ABC$, a točka $O$ središte njemu opisane kružnice. Ako je $T$ nožište okomice iz točke $C$ na pravac $AO$, dokaži da pravac $TH$ prolazi polovištem dužine $\overline{BC}$.